a transformação definida por T: R^2 R^3 sendo T(x)=A x, determine:
dado b=(lll7 & 5 & 7)^T encontre v in R^2 tal que T(v)=b. Há mais de um?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida pela matriz A , que transforma vetores de R^2 para R^3. O objetivo é encontrar um vetor v em R^2 tal que, ao aplicar a transformação T(v) = A v , obtenhamos o vetor b = 7 5 7 . Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações lineares usando a matriz A e o vetor b e verificar se existem soluções para esse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a transformação T(v) = A v de forma explícita. Seja v = x y , então:
A v = 1 & 1 0 & 1 1 & 1 x y = 1 cdot x + 1 cdot y 0 cdot x + 1 cdot y 1 cdot x + 1 cdot y = x + y y x + y
Queremos que isso seja igual a b = 7 5 7 , então temos o seguinte sistema de equações:
x + y = 7 y = 5 x + y = 7
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Observamos que a segunda equação já nos dá o valor de y :
y = 5
Com esse valor de y , podemos substituir na primeira e terceira equação para encontrar x :
x + 5 = 7 Rightarrow x = 7 - 5 Rightarrow x = 2
A terceira equação é a mesma que a primeira, então não traz nenhuma informação adicional.
Resposta
O vetor v que satisfaz T(v) = b é:
v = 2 5
Como todas as equações levam a um único valor para x e y , não há mais de uma solução. Portanto, existe apenas um vetor v em R^2 que atende à condição dada.