Se a transformação de dilatação é definida por T: R^3 R^3 sendo T(x)=1.5 x, determine:
Esta transformação é ortogonal?

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T:R^3toR^3 por
T(x)=15,x. Precisamos verificar se ela é ortogonal, isto é, se preserva produto interno (ou norma) em R^3.

Passo 2

Uma transformação linear representada por matriz A é ortogonal se, e somente se,
A^T A = I3,
onde I3 é a matriz identidade de ordem 3. Equivalentemente, devemos ter
lang<= Ax,Ayrang<= = lang<= x,yrang<= para todos x,yinR^3.

Passo 3

Aqui a matriz de T é
A = 15,I3 = 32I3
Calculando
A^T A = l(tfrac32I3r)^T l(tfrac32I3r) = l(tfrac32r)^2 I3 = 94,I3 neq I3,
logo não satisfaz A^T A = I3.

Resposta

Não, T não é ortogonal, pois não preserva o produto interno (nem as normas) e sua matriz não satisfaz A^T A = I3.

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