Seja T: R^3 longrightarrow R^3 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(y+z, 2 y+z, y+2 z)
Designando por A a matriz que representa T na base canônica de R^3, determine uma matriz de mudança de base S e uma matriz diagonal D tais que D=S^-1 A S.

Passo 1

O enunciado define T:R^3toR^3 por
T(x,y,z) = (y+z,;2y+z,;y+2z),
e pede a matriz A de T na base canônica, bem como uma matriz de mudança de base S e uma diagonal D tais que
D = S^-1AS
O conteúdo aqui é diagonalização de matriz: vamos calcular autovalores e autovetores de A.

Passo 2

Calculemos a matriz A formando colunas com T(e1),T(e2),T(e3):
T(1,0,0)=(0,0,0),
T(0,1,0)=(1,2,1),
T(0,0,1)=(1,1,2).
Portanto
A = 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 1 & 2

Passo 3

Determinante de A-lambda I:
chiA(lambda)=detl(A-lambda Ir) =det -lambda & 1 & 1 0 & 2-lambda & 1 0 & 1 & 2-lambda =-lambdal((2-lambda)^2-1r) =-lambda(lambda-1)(lambda-3)
Assim, os autovalores são
lambda1=0, lambda2=1 e lambda3=3.

Passo 4

Encontre um autovetor para cada autovalor:
  1. Para lambda=0, resolvemos A v=0. As equações implicam y+z=0, 2y+z=0, y+2z=0, de onde y=z=0 e x livre. Tomemos
v1 = (1,0,0)
  1. Para lambda=1, resolvemos (A-I)v=0. As equações dão y+z=0 e x= y+z = 0. Tomemos
v2 = (0,1,-1)
  1. Para lambda=3, resolvemos (A-3I)v=0. Obtemos y=z e y+z=3x, logo 2y=3x. Tomemos y=3, então x=2, z=3. Assim
v3 = (2,3,3)

Passo 5

Formemos S cujas colunas são os autovetores na ordem lambda=0,1,3, e D com os autovalores na diagonal:
S = 1 & 0 & 2 0 & 1 & 3 0 & -1 & 3 , D = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3
Verifica-se que det S=6neq0, logo S é invertível e satisfaz D=S^-1AS.

Resposta

S = 1 & 0 & 2 0 & 1 & 3 0 & -1 & 3 , D = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3

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