Seja
a transformação linear definida por
Designando por A a matriz que representa T na base canônica de
, determine uma matriz de mudança de base
e uma matriz diagonal
tais que
.
Passo 1
O enunciado define
por
e pede a matriz
de
na base canônica, bem como uma matriz de mudança de base
e uma diagonal
tais que
O conteúdo aqui é diagonalização de matriz: vamos calcular autovalores e autovetores de
.
Passo 2
Calculemos a matriz
formando colunas com
:
,
,
.
Portanto
Portanto
Passo 3
Determinante de
A-lambda I :
Assim, os autovalores são
lambda1=0 ,
lambda2=1 e
lambda3=3 .
Passo 4
Encontre um autovetor para cada autovalor:
- Para
, resolvemoslambda=0 . As equações implicamA v=0 ,y+z=0 ,2y+z=0 , de ondey+2z=0 ey=z=0 livre. Tomemosx
- Para
, resolvemoslambda=1 . As equações dão(A-I)v=0 ey+z=0 . Tomemosx= y+z = 0
- Para
, resolvemoslambda=3 . Obtemos(A-3I)v=0 ey=z , logoy+z=3x . Tomemos2y=3x , entãoy=3 ,x=2 . Assimz=3
Passo 5
Formemos
S cujas colunas são os autovetores na ordem
lambda=0,1,3 , e
D com os autovalores na diagonal:
Verifica-se que
det S=6neq0 , logo
S é invertível e satisfaz
D=S^-1AS .