Seja T: R^3 longrightarrow R^3 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(y+z, 2 y+z, y+2 z)
Determine uma base de R^3 constituída por autovetores de T.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base de R^3 formada por autovetores da transformação linear
T(x,y,z) = (y+z,;2y+z,;y+2z)
O conteúdo aqui é cálculo de autovalores e autovetores de uma matriz 3times3. Vamos:
  1. montar a matriz de T na base canônica,
  2. calcular o polinômio característico e seus autovalores,
  3. para cada autovalor, resolver (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3, temos
T(e1)=T(1,0,0)=(0,0,0), T(e2)=T(0,1,0)=(1,2,1), T(e3)=T(0,0,1)=(1,1,2)
Logo a matriz de T é
A = 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 1 & 2

Passo 3

O polinômio característico é
det(A-lambda I) = det -lambda & 1 & 1 0 & 2-lambda & 1 0 & 1 & 2-lambda = -lambdal((2-lambda)^2-1r) = -lambda(lambda^2-4lambda+3)

Passo 4

As raízes do polinômio são
lambda=0, lambda^2-4lambda+3=0implieslambda=1,3
Portanto os autovalores são lambda=0,1,3.

Passo 5

Para lambda=0, resolvemos A v=0. As equações são
y+z=0, 2y+z=0, y+2z=0
Da primeira vem z=-y. Substituindo na segunda dá y=0, logo z=0. Como não aparece x, temos v=(x,0,0). Um autovetor conveniente é
v0=(1,0,0)

Passo 6

Para lambda=1, resolvemos (A-I)v=0, i.e.
-x+y+z=0, y+z=0, y+z=0
Da segunda vem z=-y. Então da primeira x=y+z=0. Logo
v1=(0,1,-1)

Passo 7

Para lambda=3, resolvemos (A-3I)v=0, i.e.
-3x+y+z=0, -y+z=0, y-z=0
Da segunda vem z=y. Substituindo na primeira temos -3x+2y=0, logo x=tfrac23y. Tomando y=3 para evitar frações, obtemos
v3=(2,3,3)

Passo 8

Os vetores v0,v1,v3 são linearmente independentes e são autovetores de T. Assim uma base de R^3 formada por autovetores de T é
(1,0,0),,(0,1,-1),,(2,3,3)

Resposta

(1,0,0),;(0,1,-1),;(2,3,3)

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