Seja
a transformação linear definida por
Determine uma base de
constituída por autovetores de
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma base de
formada por autovetores da transformação linear
O conteúdo aqui é cálculo de autovalores e autovetores de uma matriz
. Vamos:
- montar a matriz de
na base canônica, - calcular o polinômio característico e seus autovalores,
- para cada autovalor, resolver
.
Passo 2
Na base canônica
, temos
Logo a matriz de
é
Passo 3
O polinômio característico é
Passo 4
As raízes do polinômio são
Portanto os autovalores são
lambda=0,1,3 .
Passo 5
Para
lambda=0 , resolvemos
A v=0 . As equações são
Da primeira vem
z=-y . Substituindo na segunda dá
y=0 , logo
z=0 . Como não aparece
x , temos
v=(x,0,0) . Um autovetor conveniente é
Passo 6
Para
lambda=1 , resolvemos
(A-I)v=0 , i.e.
Da segunda vem
z=-y . Então da primeira
x=y+z=0 . Logo
Passo 7
Para
lambda=3 , resolvemos
(A-3I)v=0 , i.e.
Da segunda vem
z=y . Substituindo na primeira temos
-3x+2y=0 , logo
x=tfrac23y . Tomando
y=3 para evitar frações, obtemos
Passo 8
Os vetores
v0,v1,v3 são linearmente independentes e são autovetores de
T . Assim uma base de
R^3 formada por autovetores de
T é