Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
( ) O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica. Nas afirmativas abaixo, A, B e C são matrizes de ordens apropriadas para as operações indicadas.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a afirmação “o produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica” é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve propriedades de matrizes simétricas e condições de comutação.

Passo 2

Lembrando que uma matriz M é simétrica se
M^T = M

Passo 3

Para duas matrizes A e B de mesma ordem, temos
(AB)^T = B^T,A^T
Se A e B são simétricas, então A^T = A e B^T = B, logo
(AB)^T = B,A
Para que AB seja simétrica é necessário
(AB)^T = AB Long<=ftrightarrow BA = AB,
ou seja, A e B devem comutar. Mas nem toda dupla de matrizes simétricas comuta.

Passo 4

Mostramos um contraexemplo em ordem 2. Defina
A = 1 & 0 0 & 2, B = 1 & 1 1 & 1
Ambas são simétricas, pois A^T=A e B^T=B. Porém
AB = 1 & 1 2 & 2, (AB)^T = 1 & 2 1 & 2 neq AB
Logo AB não é simétrica.

Resposta

Falsa. O produto de duas matrizes simétricas só é simétrico se elas comutam, o que não ocorre em geral.

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