Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
( ) O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica. Nas afirmativas abaixo, e são matrizes de ordens apropriadas para as operações indicadas.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a afirmação “o produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica” é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve propriedades de matrizes simétricas e condições de comutação.
Passo 2
Lembrando que uma matriz é simétrica se
Passo 3
Para duas matrizes e de mesma ordem, temos
Se e são simétricas, então e , logo
Para que seja simétrica é necessário
ou seja, e devem comutar. Mas nem toda dupla de matrizes simétricas comuta.
Passo 4
Mostramos um contraexemplo em ordem . Defina
Ambas são simétricas, pois A^T=A e B^T=B. Porém
AB = 1 & 1 2 & 2, (AB)^T = 1 & 2 1 & 2 neq AB
Logo AB não é simétrica.
Resposta
Falsa. O produto de duas matrizes simétricas só é simétrico se elas comutam, o que não ocorre em geral.