Seja T: R^2 longrightarrow R^2 a transformação linear que na base canônica de R^2 é representada pela matriz
A=[ll 2 & 1 0 & 2 ]
Mostre que não existe uma base de R^2 constituída por autovetores de T.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear Tcolon R^2toR^2 cuja matriz na base canônica é
A = 2 & 1 0 & 2
e pede para mostrar que não existe uma base de R^2 formada por autovetores de T.
Conteúdo necessário: autovalores, autovetores e critério de diagonalização (multiplicidade geométrica versus algébrica).

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A. Por definição,
chiA(lambda)=det(A-lambda I) =det!2-lambda & 1 0 & 2-lambda =(2-lambda)^2

Passo 3

Dos cálculos acima segue que o único autovalor é
lambda=2
com multiplicidade algébrica igual a 2.

Passo 4

Agora achamos o espaço próprio associado a , resolvendo
A primeira linha dá , e a segunda não impõe restrição extra. Logo o espaço de autovetores é
que tem dimensão geométrica .

Passo 5

Como a dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica) é 1, mas a multiplicidade algébrica de lambda=2 é 2, não há autovetores suficientes para formar uma base de R^2. Portanto A não é diagonalizável e não existe base de R^2 formada por autovetores de T.

Resposta

Não existe uma base de R^2 constituída por autovetores de T.

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