Seja T: R^3 longrightarrow R^3 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(y+z, 2 y+z, y+2 z)
Calcule os autovalores e os subespaços dos respectivos autovetores de T ;

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear T:R^3toR^3 definida por
T(x,y,z) = (y+z,;2y+z,;y+2z)
O conteúdo aqui é autovalores e autovetores de uma aplicação linear no espaço R^3. Para resolver, vamos:
  1. Escrever a matriz de T na base canônica;
  2. Calcular o polinômio característico det(A-lambda I) para achar os autovalores;
  3. Para cada autovalor lambda, resolver (A-lambda I)v=0 para obter o autovetor.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3, temos
A = [T] = 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 1 & 2

Passo 3

O polinômio característico é
det(A-lambda I) = det -lambda & 1 & 1 0 & 2-lambda & 1 0 & 1 & 2-lambda = -lambdal((2-lambda)^2 -1r)
Resolvendo -lambda[(2-lambda)^2-1]=0, obtemos
lambda=0, (2-lambda)^2-1=0;Longrightarrow;lambda=1,3

Passo 4

Para
Das duas primeiras equações tiramos , sem restrição em . Logo o subespaço próprio é

Passo 5

Para
Da segunda equação . Assim

Passo 6

Para
Das duas últimas vem . Então

Resposta

Autovalores: lambda=0,1,3.
Autovetores:
lambda=0: E0=span(1,0,0).
lambda=1: E1=span(0,1,-1).
lambda=3: E3=span(2,3,3).

Exercícios relacionados