Seja T: R^3 longrightarrow R^3 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(y+z, 2 y+z, y+2 z)
Calcule o polinômio característico de T;

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico de TcolonR^3toR^3 definido por
T(x,y,z) = (y+z,;2y+z,;y+2z)
Conteúdo: polinômio característico de uma transformação linear, que é
p(lambda) = det(lambda I - A),
onde A é a matriz de T na base canônica.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3, temos
A = 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 1 & 2 ,
pois T(e1)=(0,0,0), T(e2)=(1,2,1) e T(e3)=(1,1,2).

Passo 3

Escrevemos lambda I - A e calculamos o determinante por expansão pela primeira coluna (que tem dois zeros):
lambda I - A = lambda & -1 & -1 0 & lambda-2 & -1 0 & -1 & lambda-2 ,
p(lambda)=det(lambda I - A) = lambda ,det!lambda-2 & -1[6pt]-1 & lambda-2 ]

Passo 4

Calculamos o menor de ordem 2:
detlambda-2 & -1[3pt]-1 & lambda-2 =(lambda-2)^2 - (-1)cdot(-1) =(lambda-2)^2 -1 =lambda^2 -4lambda +3
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p(lambda) =lambdal(lambda^2 -4lambda +3r) =lambda^3 -4lambda^2 +3lambda =lambda(lambda-1)(lambda-3) ]

Resposta

p(lambda)=lambda(lambda-1)(lambda-3)

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