Seja T: R^3 longrightarrow R^3 uma transformaçāo linear que na base (-1,1,1),(1,-1,1),(1,1,-1) é representada por
[lll 1 & 2 & 1 0 & 2 & 0 1 & 2 & 1 ]
N= & 0 & Inn T=R^3
Determine bases para o núcleo e para a imagem de T.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear cuja matriz em relação à base
é
Queremos encontrar bases para e no espaço padrão . Para isso usamos o Teorema da Dimensão (posto nulidade ), resolvemos
para achar a nulidade; em seguida convertemos o vetor de coordenadas em um vetor em coordenadas canônicas. Para a imagem, usamos as colunas de como coordenadas de .

Passo 2

Resolvendo
vemos pela segunda linha que , logo . A primeira linha dá , e a terceira é repetida. Portanto
ou seja, em coordenadas da base ,

Passo 3

Para cada vetor de coordenadas l(c1,c2,c3r) em B, o vetor em coordenadas canônicas é
v=c1u1+c2u2+c3u3
Tomando (c1,c2,c3)=(-1,0,1) obtemos
v=-1cdot(-1,1,1)+0cdot(1,-1,1)+1cdot(1,1,-1) =(1,-1,-1)+(1,1,-1)=(2,0,-2)
Assim
ker T=span(2,0,-2) =span(1,0,-1)

Passo 4

As colunas de M são as coordenadas de T(u1),T(u2),T(u3) em B. Em particular:
T(u1)=1cdot u1+0cdot u2+1cdot u3=u1+u3=(0,2,0),
T(u2)=2(u1+u2+u3)=2,(1,1,1)=(2,2,2),
T(u3)=T(u1)=(0,2,0)
Como apenas dois vetores são não redundantes,
Im,T =span(0,2,0),(2,2,2) =span(0,1,0),(1,1,1)

Resposta

Base de ker T: (1,0,-1)
Base de Im,T: (0,1,0),(1,1,1)

Exercícios relacionados