Seja uma transformaçāo linear definida por . Mostre que é bijetora e determine a matriz que representa na base .
Passo 1
O enunciado define a transformação linear ,
pede para mostrar que é bijetora e para encontrar a matriz de na base .
Conteúdo: teoria de transformações lineares em espaço de dimensão finita, núcleo, inversibilidade e matriz de mudança.
Passo 2
Mostramos primeiro que é injetora. Se satisfaz
então resolve a equação diferencial linear homogênea
cuja solução geral é . Como deve ser polinômio em , só cabe a solução trivial . Logo , o que em dimensão finita implica que é injetora e, como domínio e contradomínio têm a mesma dimensão , é também sobrejetora. Concluímos que é bijetora.
Passo 3
Vamos achar a matriz de na base . Seja
Então
e
Em particular:
Portanto, na base a matriz é
cujo determinante é (-2)^3neq0, confirmando a inversibilidade.