Seja T: P2(R) longrightarrow P2(R) uma transformaçāo linear definida por T(p(t))=p^prime(t)-2 p(t). Mostre que T é bijetora e determine a matriz que representa T^-1 na base 1, t, t^2.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
;T: P2(R)to P2(R),;Tl(p(t)r)=p'(t)-2,p(t),
pede para mostrar que T é bijetora e para encontrar a matriz de T^-1 na base
1,t,t^2.
Conteúdo: teoria de transformações lineares em espaço de dimensão finita, núcleo, inversibilidade e matriz de mudança.

Passo 2

Mostramos primeiro que T é injetora. Se p(t) satisfaz
Tl(p(t)r)=p'(t)-2,p(t)=0,
então p resolve a equação diferencial linear homogênea
p'(t)=2,p(t),
cuja solução geral é p(t)=C,e^2t. Como p deve ser polinômio em t, só cabe a solução trivial C=0. Logo ker T=0, o que em dimensão finita implica que T é injetora e, como domínio e contradomínio têm a mesma dimensão l(dim P2=3r), T é também sobrejetora. Concluímos que T é bijetora.

Passo 3

Vamos achar a matriz de T na base B=1,t,t^2. Seja
p(t)=a+bt+ct^2
Então
p'(t)=b+2c,t,
e
Tl(p(t)r)=p'(t)-2,p(t) =(b-2a)+l(2c-2br)t+(-2c),t^2
Em particular:
T(1)=-2cdot1+0,t+0,t^2, T(t)=1cdot1-2,t+0,t^2, T(t^2)=0cdot1+2,t-2,t^2
Portanto, na base B a matriz [T]B é
[T]B = -2 & 1 & 0 0 &-2 & 2 0 & 0 &-2 ,
cujo determinante é (-2)^3neq0, confirmando a inversibilidade.

Passo 4

Basta inverter a matriz triangular
M= -2 & 1 & 0 0 &-2 & 2 0 & 0 &-2
Supondo
M^-1 = a & b & c 0 & d & e 0 & 0 & f ,
impondo M,M^-1=I obtemos
a=-tfrac12, d=-tfrac12, f=-tfrac12,
-2b+d=0 Rightarrow b=-tfrac14, -2c+e=0 Rightarrow c=-tfrac14, -2e+2f=0 Rightarrow e=f=-tfrac12
Logo
[T^-1]B = -tfrac12 & -tfrac14 & -tfrac14 0 & -tfrac12 & -tfrac12 0 & 0 & -tfrac12

Resposta

[T^-1]1,t,t^2 = -tfrac12 & -tfrac14 & -tfrac14 0 & -tfrac12 & -tfrac12 0 & 0 & -tfrac12

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