Seja T: R^3 longrightarrow R^2, uma transformação linear definida por T(x, y, z)=(x+y, 2 z). Determine a matriz de T nas bases A e B, isto é, [T]A^B com A=(1,1,0),(1,0,1),(0,0,-1) e B=(1,0),(1,1).

Passo 1

O enunciado pede a matriz de TcolonR^3toR^2 em relação à base A=a1,a2,a3 de R^3 e à base B=b1,b2 de R^2, onde
a1=(1,1,0), a2=(1,0,1), a3=(0,0,-1),
b1=(1,0), b2=(1,1),
e T(x,y,z)=(x+y,2z). Para obter [T]A^B, calculamos T(aj) e exprimimos cada resultado como combinação linear de b1 e b2; esses coeficientes são as colunas da matriz procurada.

Passo 2

Aplicando T em a1:
T(a1)=T(1,1,0)=(1+1,2cdot0)=(2,0)
Procuramos alpha1,alpha2 tais que
alpha1(1,0)+alpha2(1,1)=(2,0)
Isso dá o sistema
alpha1+alpha2=2, alpha2=0,
logo alpha2=0 e alpha1=2. A primeira coluna será
20.

Passo 3

Aplicando T em a2:
T(a2)=T(1,0,1)=(1+0,2cdot1)=(1,2)
Queremos beta1,beta2 tais que
beta1(1,0)+beta2(1,1)=(1,2)
O sistema é
beta1+beta2=1, beta2=2,
logo beta2=2 e beta1=-1. A segunda coluna será
-12.

Passo 4

Aplicando T em a3:
T(a3)=T(0,0,-1)=(0+0,2cdot(-1))=(0,-2)
Procuramos gamma1,gamma2 tais que
gamma1(1,0)+gamma2(1,1)=(0,-2)
O sistema é
gamma1+gamma2=0, gamma2=-2,
logo gamma2=-2 e gamma1=2. A terceira coluna será
2-2.

Passo 5

Reunindo as colunas obtidas, a matriz de T de A em B é
[T]A^B = 2 & -1 & 2 0 & 2 & -2

Resposta

[T]A^B = 2 & -1 & 2 0 & 2 & -2

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