Uma transformação Linear \mathrm{T} R^{2} \rightarrow R^{3} é tal que:
T(1,-1)=(1,1,2)
T(2,0)=(2,-1,1).
a) Determine T(x, y) \forall x, y \in \Re.
b) Calcule u \in R^{2} tal que T(u)=(3,1,4).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
\displaystyle T\colon \mathbb R^2\to\mathbb R^3
com as imagens
T(1,-1) = (1,1,2),
T(2,0) = (2,-1,1).
O objetivo em (a) é achar uma fórmula para
\displaystyle T(x,y)
usando a linearidade, e em (b) é resolver
\displaystyle T(u)=(3,1,4).

Passo 2

Para achar T(1,0), note que
T(2,0) = 2\,T(1,0) = (2,-1,1).
Logo, dividindo por 2, vem
T(1,0) = \Bigl(1,\,-\tfrac12,\,\tfrac12\Bigr).

Passo 3

Agora use
\displaystyle T(1,-1)=T(1,0)-T(0,1).
Como T(1,-1)=(1,1,2) e T(1,0)=(1,-\tfrac12,\tfrac12), temos
T(0,1) = T(1,0)-T(1,-1) = \Bigl(1,-\tfrac12,\tfrac12\Bigr) - (1,1,2) = \Bigl(0,\,-\tfrac32,\,-\tfrac32\Bigr).

Passo 4

Para um vetor genérico (x,y) em \mathbb R^2, pela linearidade
T(x,y) = x\,T(1,0) + y\,T(0,1).
Substituindo os valores achados,
T(x,y) = x\Bigl(1,-\tfrac12,\tfrac12\Bigr) + y\Bigl(0,-\tfrac32,-\tfrac32\Bigr) = \Bigl(x,\,-\tfrac{x+3y}{2},\,\tfrac{x-3y}{2}\Bigr).

Passo 5

Para encontrar u=(a,b) tal que T(a,b)=(3,1,4), igualamos componentes:
  1. a = 3.
  2. -\tfrac{a+3b}{2} = 1 implica
-(3+3b)=2 \quad\Longrightarrow\quad 3+3b=-2 \quad\Longrightarrow\quad b=-\tfrac{5}{3}.
Verificando na terceira coordenada,
\tfrac{a-3b}{2}=\tfrac{3 -3(-5/3)}{2}=\tfrac{3+5}{2}=4,
que bate com o valor pedido.

Resposta

(a) \displaystyle T(x,y)=\bigl(x,\,-\tfrac{x+3y}{2},\,\tfrac{x-3y}{2}\bigr).
(b) \displaystyle u=(3,\,-\tfrac{5}{3}).

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