Seja a transformação linear T: R^2 R^2. dada por:
T(x, y)=(4 x+4 y, x+4 y)
b) Calcule o polinômio característico e ache os autovalores de T.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:R^2toR^2 definida por
T(x,y)=(4x+4y,;x+4y),
e pede o polinômio característico e os autovalores de T. Para isso, vamos escrever a matriz de T na base canônica, calcular det(A-lambda I) e resolver a equação característica.

Passo 2

Para achar a matriz de T na base canônica (1,0),(0,1), observamos
T(1,0)=(4cdot1+4cdot0,;1+4cdot0)=(4,1),
T(0,1)=(4cdot0+4cdot1,;0+4cdot1)=(4,4)
Logo, a matriz de T é
A = 4 & 4 [6pt] 1 & 4
]

Passo 3

Formamos A - lambda I e calculamos o determinante:
A - lambda I = 4-lambda & 4 [3pt] 1 & 4-lambda,
det(A-lambda I) = (4-lambda)^2 - 4 = lambda^2 - 8lambda + 16 - 4 = lambda^2 - 8lambda + 12
Portanto, o polinômio característico é
lambda^2 - 8lambda + 12
]

Passo 4

Para encontrar os autovalores, resolvemos
lambda^2 - 8lambda + 12 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara,
lambda = 8 pm raiz64 - 482 = 8 pm 42,
obtemos
lambda1 = 6, lambda2 = 2

Resposta

O polinômio característico é lambda^2 - 8lambda + 12 e os autovalores são lambda = 6 e lambda = 2.

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