Seja a transformação linear definida cuja matriz (na base canônica de ) é
(a) Quais são os autovalores de F?
(b) Descreva os subespaços de F associado aos autovalores.
(c) R^2 admite uma base formada por autovetores de F? Se sim, dê um exemplo.
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear Fcolon R^2to R^2 cuja matriz na base canônica é
[F]=0 & 33 & 0
Pede-se (a) os autovalores de F, (b) os subespaços próprios associados a cada autovalor, e (c) se R^2 admite uma base de autovetores de F, dando um exemplo.
Passo 2
Para achar os autovalores calculamos o polinômio característico de [F]. Seja lambda um escalar, então
Esse passo usa a definição de polinômio característico det(A-lambda I).
Passo 3
Resolvendo lambda^2-9=0 obtemos
lambda^2=9 Longrightarrow lambda=3oulambda=-3
Portanto os autovalores de F são ;3 e -3.
Passo 4
Para o autovalor resolvemos
Isso dá a equação , ou seja . Logo o subespaço próprio é
Passo 5
Para o autovalor resolvemos
Isso dá , ou seja . Assim
Passo 6
Como os dois autovalores 3 e -3 são distintos, temos dois subespaços próprios de dimensão 1 cujos geradores (1,1) e (1,-1) são linearmente independentes. Portanto R^2 admite base de autovetores de F.
Resposta
(a) Os autovalores são lambda1=3 e lambda2=-3.
(b) O subespaço próprio de lambda=3 é
E3=span(1,1),
e o de lambda=-3 é
E-3=span(1,-1)
(c) Sim. Um exemplo de base de autovetores é (1,1),(1,-1).