Seja F: R^2 R^2 a transformação linear definida cuja matriz (na base canônica de R^2 ) é
[F]=(ll 0 & 3 3 & 0 )
(a) Quais são os autovalores de F?
(b) Descreva os subespaços de F associado aos autovalores.
(c) R^2 admite uma base formada por autovetores de F? Se sim, dê um exemplo.

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear Fcolon R^2to R^2 cuja matriz na base canônica é
[F]=0 & 33 & 0
Pede-se (a) os autovalores de F, (b) os subespaços próprios associados a cada autovalor, e (c) se R^2 admite uma base de autovetores de F, dando um exemplo.

Passo 2

Para achar os autovalores calculamos o polinômio característico de [F]. Seja lambda um escalar, então
detl([F]-lambda Ir) =det-lambda & 33 & -lambda =lambda^2-9
Esse passo usa a definição de polinômio característico det(A-lambda I).

Passo 3

Resolvendo lambda^2-9=0 obtemos
lambda^2=9 Longrightarrow lambda=3oulambda=-3
Portanto os autovalores de F são ;3 e -3.

Passo 4

Para o autovalor resolvemos
Isso dá a equação , ou seja . Logo o subespaço próprio é

Passo 5

Para o autovalor resolvemos
Isso dá , ou seja . Assim

Passo 6

Como os dois autovalores 3 e -3 são distintos, temos dois subespaços próprios de dimensão 1 cujos geradores (1,1) e (1,-1) são linearmente independentes. Portanto R^2 admite base de autovetores de F.

Resposta

(a) Os autovalores são lambda1=3 e lambda2=-3.
(b) O subespaço próprio de lambda=3 é
E3=span(1,1),
e o de lambda=-3 é
E-3=span(1,-1)
(c) Sim. Um exemplo de base de autovetores é (1,1),(1,-1).

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