Seja a transformação linear T: R^2 R^2 dada por
T(x, y)=(x+y, 4 y)
Determine as matrizes P, D, P-1 e verifique que [T]=P cdot D cdot P^-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear T: R^2 R^2 dada por T(x, y) = (x + y, 4y) . O objetivo aqui é encontrar as matrizes P , D , P^-1 e mostrar que [T] = P cdot D cdot P^-1 . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, autovalores, autovetores e diagonalização. Bora passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz que representa a transformação linear T . Sabemos que T(x, y) = (x + y, 4y) , então podemos escrever isso em forma de matriz:
[T] = 1 & 1 0 & 4
Essa é a matriz A que representa a transformação T .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores da matriz A . Para isso, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Calculando:
A - lambda I = 1 - lambda & 1 0 & 4 - lambda
O determinante é:
(1 - lambda)(4 - lambda) - (0)(1) = (1 - lambda)(4 - lambda) = 0
Resolvendo:
(1 - lambda)(4 - lambda) = 0 Rightarrow lambda = 1 ou lambda = 4
Então, os autovalores são lambda1 = 1 e lambda2 = 4 .

Passo 4

Com os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes.
Para lambda1 = 1 :
Resolvemos (A - lambda1 I)v = 0 :
1 - 1 & 1 0 & 4 - 1 v1 v2 = 0 & 1 0 & 3 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá as equações:
0v1 + 1v2 = 0 Rightarrow v2 = 0
0v1 + 3v2 = 0 Rightarrow v2 = 0
Então, qualquer vetor da forma v1 = 1 0 é um autovetor para lambda1 = 1 .
Para lambda2 = 4 :
Resolvemos (A - lambda2 I)v = 0 :
1 - 4 & 1 0 & 4 - 4 v1 v2 = -3 & 1 0 & 0 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá as equações:
-3v1 + v2 = 0 Rightarrow v2 = 3v1
0v1 + 0v2 = 0
Então, qualquer vetor da forma v2 = 1 3 é um autovetor para lambda2 = 4 .

Passo 5

Agora, vamos formar a matriz P usando os autovetores encontrados. A matriz P será formada colocando os autovetores como colunas:
P = 1 & 1 0 & 3

Passo 6

A próxima etapa é formar a matriz diagonal D que contém os autovalores na diagonal principal:
D = 1 & 0 0 & 4

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a inversa da matriz P , ou seja, P^-1 . Para uma matriz 2 times 2 , a inversa é dada por:
P^-1 = 1det(P) d & -b -c & a
Onde P = a & b c & d .
Calculando o determinante de P :
det(P) = (1)(3) - (1)(0) = 3
Então,
P^-1 = 13 3 & -1 0 & 1 = 1 & -13 0 & 13

Passo 8

Finalmente, vamos verificar que [T] = P cdot D cdot P^-1 .
Multiplicando P cdot D :
P cdot D = 1 & 1 0 & 3 1 & 0 0 & 4 = 1 cdot 1 + 1 cdot 0 & 1 cdot 0 + 1 cdot 4 0 cdot 1 + 3 cdot 0 & 0 cdot 0 + 3 cdot 4 = 1 & 4 0 & 12
Agora, multiplicando pelo P^-1 :
P cdot D cdot P^-1 = 1 & 4 0 & 12 1 & -13 0 & 13 = 1 cdot 1 + 4 cdot 0 & 1 cdot (-13) + 4 cdot 13 0 cdot 1 + 12 cdot 0 & 0 cdot (-13) + 12 cdot 13 = 1 & 33 0 & 4 = 1 & 1 0 & 4
Que é exatamente a matriz [T] que encontramos no Passo 2. Portanto, a igualdade [T] = P cdot D cdot P^-1 está comprovada.

Resposta

Encontramos que:
P = 1 & 1 0 & 3 , D = 1 & 0 0 & 4 , P^-1 = 1 & -13 0 & 13
E verificamos que [T] = P cdot D cdot P^-1 .

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