Determine os autovetores e verifique se existe base de autovetores de pl .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar os autovetores dessa transformação e verificar se conseguimos formar uma base de autovetores para . Para isso, vamos precisar trabalhar com matrizes, calcular autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Sabemos que , então a matriz associada será:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores ( lambda ) da matriz A . Para isso, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
det( 1 - lambda & 1 0 & 4 - lambda ) = 0
Passo 4
Calculando o determinante:
(1 - lambda)(4 - lambda) - (0)(1) = 0
(1 - lambda)(4 - lambda) = 0
Isso nos dá os autovalores:
lambda1 = 1 e lambda2 = 4
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para lambda1 = 1 :
Resolvemos (A - lambda I)v = 0 :
0 & 1 0 & 3 v1 v2 = 0 0
Isso resulta em v2 = 0 . Então, o autovetor é qualquer vetor da forma v1 0 , onde v1 neq 0 . Podemos escolher:
v1 = 1 0
Para lambda2 = 4 :
Resolvemos (A - lambda I)v = 0 :
-3 & 1 0 & 0 v1 v2 = 0 0
Isso resulta em -3v1 + v2 = 0 , ou seja, v2 = 3v1 . O autovetor é qualquer vetor da forma v1 3v1 , onde v1 neq 0 . Podemos escolher:
v2 = 1 3
Passo 6
Agora que temos dois autovetores distintos v1 = 1 0 e v2 = 1 3 , vamos verificar se eles formam uma base de R^2 .
Para isso, vamos ver se são linearmente independentes. Se o determinante da matriz formada por eles for diferente de zero, estão independentes.
det( 1 & 1 0 & 3 ) = (1)(3) - (1)(0) = 3 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de R^2 .
Resposta
Os autovetores de T são 1 0 e 1 3 . Além disso, esses autovetores formam uma base de R^2 .