Seja T: R^3 R^3 a transformação linear dada pela equação
T(x, y, z)=(13 x+13 y+13 z, 13 x+13 y+13 z, 13 x+13 y+13 z)
Encontre uma base de ker(T) e a dimensão da imagem Im(T) da transformação T dada acima.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z)=l(tfrac13(x+y+z),,tfrac13(x+y+z),,tfrac13(x+y+z)r),
e pede (i) uma base de ker(T) e (ii) a dimensão de Im(T). Vamos usar a definição de núcleo (solução de T(x,y,z)=0) e a descrição direta da imagem.

Passo 2

Para achar ker(T), impomos
T(x,y,z)=(0,0,0) Long<=ftrightarrow tfrac13(x+y+z)=0 Long<=ftrightarrow x+y+z=0
Isso define um plano em R^3. Podemos parametrizar, por exemplo, escolhendo x e y livres e
z=-x-y
Logo um vetor genérico de ker(T) é
(x,y,-x-y) = x,(1,0,-1) + y,(0,1,-1)
Assim uma base conveniente de ker(T) é
(1,0,-1),;(0,1,-1)

Passo 3

Para a imagem, note que para todo
Portanto é o conjunto de todos os vetores da forma , ou seja
Isso mostra que é uma reta em e, portanto,

Resposta

Base de ker(T): (1,0,-1),,(0,1,-1).
dim(Im(T))=1.

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