Seja
a transformação linear dada pela equação
Encontre uma base de
e a dimensão da imagem
da transformação
dada acima.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede (i) uma base de
e (ii) a dimensão de
. Vamos usar a definição de núcleo (solução de
) e a descrição direta da imagem.
Passo 2
Para achar
, impomos
Isso define um plano em
. Podemos parametrizar, por exemplo, escolhendo
e
livres e
Logo um vetor genérico de
é
Assim uma base conveniente de
é
Passo 3
Para a imagem, note que para todo
Portanto
é o conjunto de todos os vetores da forma
, ou seja
Isso mostra que
é uma reta em
e, portanto,
Resposta
Base de
:
.
.