e pede pra comparar (i) a fórmula com o produto , (ii) o núcleo de com o espaço nulo de e (iii) a imagem de com o espaço de colunas de . Vamos usar o fato de que toda transformação linear de em corresponde a multiplicação por uma matriz .
Passo 2
Para achar a matriz associada a , aplicamos aos vetores da base canônica de :
Esses resultados são as colunas de , logo
Passo 3
Para um vetor genérico , o produto matricial dá
que coincide exatamente com . Portanto
Passo 4
O núcleo de é
mas como , isso equivale a
que é justamente o espaço nulo (nullspace) de . Logo
Passo 5
A imagem de é
e, de novo usando , temos
que é exatamente o espaço gerado pelas colunas de . Portanto