Seja T: R^4 R^3 a transformação linear definida por
T(s, x, y, z)=(s+z,-x+y, s-y)
Compare:
i. T(v) e A v, sendo v=(s, x, y, z) in R^4.
ii. nuc(T) e en (A).
iii. im(T) e col(A).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
Tcolon R^4toR^3, T(s,x,y,z)=(s+z,,-x+y,;s-y)
e pede pra comparar (i) a fórmula T(v) com o produto A,v, (ii) o núcleo de T com o espaço nulo de A e (iii) a imagem de T com o espaço de colunas de A. Vamos usar o fato de que toda transformação linear de R^n em R^m corresponde a multiplicação por uma matriz mtimes n.

Passo 2

Para achar a matriz A associada a T, aplicamos T aos vetores da base canônica de R^4:
e1=(1,0,0,0)mapsto T(e1)=(1+0,,0,,1)=(1,0,1),
e2=(0,1,0,0)mapsto T(e2)=(0+0,,-1+0,,0)=(0,-1,0),
e3=(0,0,1,0)mapsto T(e3)=(0+0,,0+1,,0-1)=(0,1,-1),
e4=(0,0,0,1)mapsto T(e4)=(0+1,,0,,0)=(1,0,0)
Esses resultados são as colunas de A, logo
A = 1 & 0 & 0 & 1 0 & -1 & 1 & 0 1 & 0 & -1 & 0

Passo 3

Para um vetor genérico , o produto matricial dá
que coincide exatamente com . Portanto

Passo 4

O núcleo de é
mas como , isso equivale a
que é justamente o espaço nulo (nullspace) de . Logo

Passo 5

A imagem de é
e, de novo usando , temos
que é exatamente o espaço gerado pelas colunas de . Portanto

Resposta

i. Para todo , .
ii. .
iii. .

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