Sejam T: K^n K^m linear, B e C as bases canônicas de K^n e K^m, respectivamente, e A=[T]C^B. Mostre:
T(v)=A v, para todo v in K^n.

Passo 1

O enunciado diz que T:K^ntoK^m é uma transformação linear, B e C são as bases canônicas de K^n e K^m respectivamente, e
A = [T]C^B
é a matriz de T nessas bases. Queremos mostrar que
T(v)=A,v
para todo vinK^n. O conteúdo que usaremos é a representação matricial de uma aplicação linear em bases canônicas.

Passo 2

Para um vetor genérico , escrevemos sua expansão na base canônica :
de modo que as coordenadas de em são
Como é canônica, identificamos com o próprio vetor .

Passo 3

Pela definição de matriz de T nas bases B e C=(f1,dots,fm), vale
[T(v)] C = A,[v] B

Passo 4

Para recuperar o vetor T(v) em K^m a partir de suas coordenadas em C, escrevemos
T(v) = sumj=1^ml([T(v)] Cr)j,fj = sumj=1^m (A,v)j,fj,
onde usamos [T(v)] C=A,[v] B=A,v.

Passo 5

A expressão
sumj=1^m (A,v)j,fj
é exatamente a forma de construir o vetor A,v em K^m. Portanto concluímos que
T(v)=A,v
para todo vinK^n.

Resposta

T(v)=A,v,forall vinK^n

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