Sejam
linear,
e
as bases canônicas de
e
, respectivamente, e
. Mostre:
, para todo
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma transformação linear,
e
são as bases canônicas de
e
respectivamente, e
é a matriz de
nessas bases. Queremos mostrar que
para todo
. O conteúdo que usaremos é a representação matricial de uma aplicação linear em bases canônicas.
Passo 2
Para um vetor genérico
, escrevemos sua expansão na base canônica
:
de modo que as coordenadas de
em
são
Como
é canônica, identificamos
com o próprio vetor
.
Passo 3
Pela definição de matriz de
nas bases
e
, vale
Passo 4
Para recuperar o vetor
em
a partir de suas coordenadas em
, escrevemos
onde usamos
.
Passo 5
A expressão
é exatamente a forma de construir o vetor
em
. Portanto concluímos que
para todo
.