Seja T: R^4 R^3 a transformação linear definida por
T(s, x, y, z)=(s+z,-x+y, s-y)
Determine A=[T]C^B, sendo B e C as bases canônicas de R^4 e R^3, respectivamente.

Passo 1

O enunciado considera a transformação linear
Tcolon R^4 to R^3, T(s,x,y,z) = (s+z,,-x+y,;s-y)
e pede a matriz de T relativa às bases canônicas B=e1,e2,e3,e4 de R^4 e C=f1,f2,f3 de R^3. Para isso, vamos calcular as imagens dos vetores canônicos ei e montar a matriz cujas colunas são essas imagens coordenadas em C.

Passo 2

Calcular T(ei) para i=1,2,3,4:
  • e1=(1,0,0,0) T(1,0,0,0) = (1+0,,-0+0,;1-0) = (1,0,1)
  • e2=(0,1,0,0) T(0,1,0,0) = (0+0,,-1+0,;0-0) = (0,-1,0)
  • e3=(0,0,1,0) T(0,0,1,0) = (0+0,,-0+1,;0-1) = (0,1,-1)
  • e4=(0,0,0,1) T(0,0,0,1) = (0+1,,-0+0,;0-0) = (1,0,0)

Passo 3

A matriz A=[T]C^B tem na i-ésima coluna as coordenadas de T(ei) na base canônica de R^3. Logo,
A = 1 & 0 & 0 & 1 0 & -1 & 1 & 0 1 & 0 & -1 & 0

Resposta

A = 1 & 0 & 0 & 1 0 & -1 & 1 & 0 1 & 0 & -1 & 0

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