Sejam A=(cccc1 & 0 & 0 & 1 0 & -1 & 1 & 0 1 & 0 & -1 & 0) e B=A^t, a transposta de A. Determine
TA: M(2, C) C[x]2 e TB: C[x]2 M(2, C)
nos seguintes casos:
B=(ll1 & 0 0 & 1),(cc0 & 1 -1 & 0),(ll1 & 1 0 & 0),(ll0 & 0 1 & 1) e C=1-x, 1+x^2, x-x^2.

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
TAcolon M(2,C)toC[x]2, TA(X)=p(x),
onde se identifica Xin M(2,C) com o vetor
vec(X)inC^4 obtido empilhando as colunas de X, e se identifica p(x)inC[x]2 com o vetor dos coeficientes na base padrão 1,x,x^2.
Analogamente
TBcolonC[x]2to M(2,C), TB(p)=X,
onde X é obtido a partir de vec(X)=Bcdotl[coef de pr].
Queremos as matrizes de TA em relação à base
B=E1,E2,E3,E4 de M(2,C) dada por
E1=1&00&1,; E2=0&1-1&0,; E3=1&10&0,; E4=0&01&1,
e à base
C=,1-x,;1+x^2,;x-x^2 de C[x]2,
e a matriz de TB nessa mesma escolha de bases (agora domínio C e contradomínio B).

Passo 2

Cálculo de [TA] B, C.
Para cada Ej em B:
1. Formamos vec(Ej)inC^4 empilhando colunas.
2. Calculamos v=Acdotvec(Ej)inC^3.
3. Interpretamos v=(p0,p1,p2) como o polinômio
;p(x)=p0+p1x+p2x^2.
4. Escrevemos p(x)=alpha(1-x)+beta(1+x^2)+gamma(x-x^2) e resolvemos para (alpha,beta,gamma).
Fazendo isso para E1,E2,E3,E4 obtém-se os vetores-coluna:
E1:& v=A,[1,0,0,1]^T=[2,0,1]^T Longrightarrow;(p0,p1,p2)=(2,0,1) ;mapsto;(alpha,beta,gamma)=l(tfrac12,tfrac32,tfrac12r), E2:& v=A,[0,-1,1,0]^T=[0,2,-1]^T Longrightarrow;(0,2,-1) ;mapsto;(alpha,beta,gamma)=l(-tfrac12,tfrac12,tfrac32r), E3:& v=A,[1,0,1,0]^T=[1,1,0]^T Longrightarrow;(1,1,0) ;mapsto;(alpha,beta,gamma)=(0,1,1), E4:& v=A,[0,1,0,1]^T=[1,-1,0]^T Longrightarrow;(1,-1,0) ;mapsto;(alpha,beta,gamma)=(1,0,0)

Passo 3

Assim, em B para o domínio e C para o contradomínio,
[TA] B, C = tfrac12 & -tfrac12 & 0 & 1 tfrac32 & tfrac12 & 1 & 0 tfrac12 & tfrac32 & 1 & 0 ,
onde a j-ésima coluna são os coeficientes (alpha,beta,gamma) de TA(Ej) em C.

Passo 4

Cálculo de .
Para cada polinômio em :
. Escrevemos seus coeficientes padrão .
. Calculamos .
. Interpretamos como a matriz
.
. Expandimos essa matriz como combinação
e resolvemos para .
Fazendo isso para os três polinômios obtemos as colunas:

Passo 5

Logo, em C no domínio e B no contradomínio,
[TB] C, B = 1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2 0 & 0 & 0 0 & -1 & 1 ,
onde a j-ésima coluna são os coeficientes
(alpha,beta,gamma,de<a) de TB(cj) em B.

Resposta

[TA] B, C = tfrac12 & -tfrac12 & 0 & 1 tfrac32 & tfrac12 & 1 & 0 tfrac12 & tfrac32 & 1 & 0 , [TB] C, B = 1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2 0 & 0 & 0 0 & -1 & 1

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