Sejam A=(cccc1 & 0 & 0 & 1 0 & -1 & 1 & 0 1 & 0 & -1 & 0) e B=A^t, a transposta de A. Determine
TA: M(2, C) C[x]2 e TB: C[x]2 M(2, C)
nos seguintes casos:
B=(ll1 & 0 0 & 0),(ll0 & 1 0 & 0),(ll0 & 0 1 & 0),(ll0 & 0 0 & 1) e C=1, x, x^2.

Passo 1

O enunciado define duas transformações lineares
;TAcolon M(2,C)toC[x]2 e
;TBcolon C[x]2to M(2,C),
cujo matrizes, nas bases
B=B1,B2,B3,B4 de M(2,C) e
C=1,x,x^2 de C[x]2, são
A= 1 & 0 & 0 & 1 0 & -1 & 1 & 0 1 & 0 & -1 & 0 , B=A^t= 1 & 0 & 1 0 & -1 & 0 0 & 1 & -1 1 & 0 & 0
Vamos usar o fato de que a j-ésima coluna de A dá as coordenadas de
TA(Bj) na base C, e a k-ésima coluna de B dá as
coordenadas de TB(ck) na base B.

Passo 2

Computando TA nos elementos da base B:
  • Coluna 1 de A é 101, logo TA(B1) =1cdot1+0cdot x+1cdot x^2 =1 + x^2
  • Coluna 2 de A é 0-10, logo TA(B2) =0cdot1+(-1)cdot x+0cdot x^2 =-,x
  • Coluna 3 de A é 01-1, logo TA(B3) =0cdot1+1cdot x+(-1)cdot x^2 =x - x^2
  • Coluna 4 de A é 100, logo TA(B4) =1cdot1+0cdot x+0cdot x^2 =1

Passo 3

Para uma matriz genérica
,
usa-se linearidade:

Passo 4

Computando TB nos elementos da base C:
  • Coluna 1 de B é 1001, logo TB(1) =1cdot B1+0cdot B2+0cdot B3+1cdot B4 =1&00&1
  • Coluna 2 de B é 0-110, logo TB(x) =0cdot B1+(-1)cdot B2+1cdot B3+0cdot B4 =0&-11&0
  • Coluna 3 de B é 10-10, logo TB(x^2) =1cdot B1+0cdot B2+(-1)cdot B3+0cdot B4 =1&0-1&0

Passo 5

Para um polinômio genérico
p(x)=alpha+beta x+gamma x^2, usa-se linearidade:
TB(p) =alpha,TB(1)+beta,TB(x)+gamma,TB(x^2) = alpha+gamma & -beta[6pt] beta-gamma & alpha ]

Resposta

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