Sejam
e
B=A^t , a transposta de
A . Determine
TA: M(2, C) C[x]2 e TB: C[x]2 M(2, C)
nos seguintes casos:
B=(ll1 & 0 0 & 0),(ll0 & 1 0 & 0),(ll0 & 0 1 & 0),(ll0 & 0 0 & 1) e
C=1, x, x^2 .
Passo 1
O enunciado define duas transformações lineares
;TAcolon M(2,C)toC[x]2 e
;TBcolon C[x]2to M(2,C) ,
cujo matrizes, nas bases
B=B1,B2,B3,B4 de
M(2,C) e
C=1,x,x^2 de
C[x]2 , são
cujo matrizes, nas bases
Vamos usar o fato de que a
j -ésima coluna de
A dá as coordenadas de
TA(Bj) na base
C , e a
k -ésima coluna de
B dá as
coordenadas deTB(ck) na base
B .
coordenadas de
Passo 2
Computando
TA nos elementos da base
B :
- Coluna
de1 éA , logo101 TA(B1) =1cdot1+0cdot x+1cdot x^2 =1 + x^2 - Coluna
de2 éA , logo0-10 TA(B2) =0cdot1+(-1)cdot x+0cdot x^2 =-,x - Coluna
de3 éA , logo01-1 TA(B3) =0cdot1+1cdot x+(-1)cdot x^2 =x - x^2 - Coluna
de4 éA , logo100 TA(B4) =1cdot1+0cdot x+0cdot x^2 =1
Passo 3
Para uma matriz genérica
,
usa-se linearidade:
,
usa-se linearidade:
Passo 4
Computando
TB nos elementos da base
C :
- Coluna
de1 éB , logo1001 TB(1) =1cdot B1+0cdot B2+0cdot B3+1cdot B4 =1&00&1 - Coluna
de2 éB , logo0-110 TB(x) =0cdot B1+(-1)cdot B2+1cdot B3+0cdot B4 =0&-11&0 - Coluna
de3 éB , logo10-10 TB(x^2) =1cdot B1+0cdot B2+(-1)cdot B3+0cdot B4 =1&0-1&0
Passo 5
Para um polinômio genérico
p(x)=alpha+beta x+gamma x^2 , usa-se linearidade: