Sejam S a base canônica de R^2 e B=v1, v2 a base dada por v1= (2,1) e v2=(-3,4). Se T: R^2 R^2, T(x, y)=(2 x+y,-x+y), então:
a) Encontre a matriz de transição [T]S^B.
b) Encontre a matriz de transição [T]B^S.

Passo 1

O enunciado pede as matrizes de representação de
nos pares de bases (base canônica) e com e .
Para achar , lembramos que suas colunas são as coordenadas de e na base .
Para achar , as colunas são e escritas na base canônica .

Passo 2

Calcular T(e1) e T(e2) em coordenadas canônicas:
T(e1)=T(1,0)=(2cdot1+0,,-1+0)=(2,,-1),
T(e2)=T(0,1)=(0+1,;0+1)=(1,,1)

Passo 3

Expressar
Dessa forma obtém-se
Para ((1,1)=c,v_1+d,v_2] resolvemos

e achamos

Passo 4

Logo, a matriz de T que leva coordenadas em S para coordenadas em B é
[T]S^B = tfrac511 & tfrac711[6pt] -tfrac411 & tfrac111 ]

Passo 5

Agora para [T]B^S calculamos T(v1) e T(v2) em coordenadas canônicas:
T(v1)=T(2,1)=(2cdot2+1,,-2+1)=(5,,-1),
T(v2)=T(-3,4)=(2cdot(-3)+4,; -(-3)+4)=(-2,,7)
Como já estão na base canônica, basta colocá-los como colunas:
[T]B^S = 5 & -2 -1 & 7

Resposta

(a);[T]S^B = tfrac511 & tfrac711 -tfrac411 & tfrac111 , (b);[T]B^S = 5 & -2 -1 & 7

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