Verifique quais das transformações abaixo são lineares.
T: R^3 P2, T(a, b, c)=(2 a+c) x^2+b x+c+b.

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação
Tcolon R^3 to P2
definida por
T(a,b,c) = (2a+c)x^2 + b,x + (c+b)
O conteúdo é transformação linear e vamos precisar usar a definição: verificar se preserva soma e multiplicação escalar (ou reconhecer que é combinação linear de (a,b,c) sobre polinômios fixos).

Passo 2

Observe que podemos escrever
T(a,b,c) = a,(2x^2) ;+; b,(x+1) ;+; c,(x^2+1)
Isso mostra que T associa a (a,b,c) uma combinação linear dos polinômios 2x^2, x+1 e x^2+1.

Passo 3

Para a soma, tome (a,b,c) e (a',b',c') em R^3. Então
Tl((a,b,c)+(a',b',c')r) = T(a+a',,b+b',,c+c')
= (a+a'),(2x^2) + (b+b'),(x+1) + (c+c'),(x^2+1)
= l[a,(2x^2)+b,(x+1)+c,(x^2+1)r] +l[a',(2x^2)+b',(x+1)+c',(x^2+1)r]
= T(a,b,c) + T(a',b',c')

Passo 4

Para o escalar lambdainR e vetor (a,b,c),
Tl(lambda(a,b,c)r) = T(lambda a,lambda b,lambda c) = (lambda a),(2x^2) + (lambda b),(x+1) + (lambda c),(x^2+1)
= lambdal[a,(2x^2)+b,(x+1)+c,(x^2+1)r] = lambda,T(a,b,c)

Passo 5

Como T preserva soma e multiplicação por escalar, concluímos que T é linear.

Resposta

A transformação T é linear.

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