Verifique quais das transformações abaixo são lineares. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a transformação T: M2 times 2 R , definida por T(lla & b c & d) = det(lla & b c & d) , é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como testar se uma função satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação T é linear se ela respeita duas propriedades importantes:
Adição: T(A + B) = T(A) + T(B)
Escalonamento: T(kA) = kT(A)
Aqui, A e B são matrizes em M2 times 2 , e k é um escalar real. Se ambas as propriedades forem verdadeiras, então T é uma transformação linear.
(a+e)(d+h) - (b+f)(c+g) = ad + ah + ed + eh - bc - bg - fc - fg
Comparando com T(A) + T(B) , percebemos que há termos extras como ah , ed , bg e fc que não estão presentes na soma T(A) + T(B) . Isso mostra que T(A + B) neq T(A) + T(B) .
Passo 4
Já que a primeira propriedade não foi satisfeita, não precisamos testar a segunda propriedade (escalonamento). Já sabemos que a transformação T não é linear.