Verifique quais das transformações abaixo são lineares.
T: M2 times 2 R, T(lla & b c & d)=det(lla & b c & d).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a transformação T: M2 times 2 R , definida por T(lla & b c & d) = det(lla & b c & d) , é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como testar se uma função satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação T é linear se ela respeita duas propriedades importantes:
  1. Adição: T(A + B) = T(A) + T(B)
  2. Escalonamento: T(kA) = kT(A)
Aqui, A e B são matrizes em M2 times 2 , e k é um escalar real. Se ambas as propriedades forem verdadeiras, então T é uma transformação linear.

Passo 3

Vamos testar a primeira propriedade: Adição.
Seja A = a & b c & d e B = e & f g & h .
Calculando T(A + B) :
A + B = a+e & b+f c+g & d+h
T(A + B) = det( a+e & b+f c+g & d+h ) = (a+e)(d+h) - (b+f)(c+g)
Agora, calculando T(A) + T(B) :
T(A) = ad - bc
T(B) = eh - fg
T(A) + T(B) = (ad - bc) + (eh - fg)
Para T ser linear, precisa ser que:
(ad - bc) + (eh - fg) = (a+e)(d+h) - (b+f)(c+g)
Expandindo o lado direito:
(a+e)(d+h) - (b+f)(c+g) = ad + ah + ed + eh - bc - bg - fc - fg
Comparando com T(A) + T(B) , percebemos que há termos extras como ah , ed , bg e fc que não estão presentes na soma T(A) + T(B) . Isso mostra que T(A + B) neq T(A) + T(B) .

Passo 4

Já que a primeira propriedade não foi satisfeita, não precisamos testar a segunda propriedade (escalonamento). Já sabemos que a transformação T não é linear.

Resposta

A transformação T não é linear.

Exercícios relacionados