Verifique se a seguinte aplicação é uma transformação linear:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a aplicação
, definida por
, é uma transformação linear. Pra isso, vamos precisar entender o que é transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer. Basicamente, uma transformação linear precisa respeitar duas regras principais: adição vetorial e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e
no espaço de partida, e para qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
-
(Adição Vetorial) -
(Multiplicação por Escalar)
Então, vamos verificar essas duas propriedades para a nossa aplicação
.
Passo 3
Vamos começar verificando a adição vetorial. Seja
e
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Observamos que
. Então, a propriedade de adição vetorial está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Vemos que
. Portanto, a propriedade de multiplicação por escalar também está satisfeita.
Resposta
Como a aplicação
satisfaz tanto a adição vetorial quanto a multiplicação por escalar, podemos concluir que
, definida por
, é uma transformação linear.