Verifique se a seguinte aplicação é uma transformação linear:
T: R^4 R^3, T(x, y, z, w)=(x-w, y-w, x+z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a aplicação T: R^4 R^3 , definida por T(x, y, z, w) = (x - w, y - w, x + z) , é uma transformação linear. Pra isso, vamos precisar entender o que é transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer. Basicamente, uma transformação linear precisa respeitar duas regras principais: adição vetorial e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T é linear se, para quaisquer vetores u e v no espaço de partida, e para qualquer escalar c , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. T(u + v) = T(u) + T(v) (Adição Vetorial)
  2. T(cu) = cT(u) (Multiplicação por Escalar)
Então, vamos verificar essas duas propriedades para a nossa aplicação T .

Passo 3

Vamos começar verificando a adição vetorial. Seja u = (x1, y1, z1, w1) e v = (x2, y2, z2, w2) .
Primeiro, calculamos T(u + v) :
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, w1 + w2)
T(u + v) = ((x1 + x2) - (w1 + w2), (y1 + y2) - (w1 + w2), (x1 + x2) + (z1 + z2))
= (x1 - w1 + x2 - w2, y1 - w1 + y2 - w2, x1 + z1 + x2 + z2)
Agora, calculamos T(u) + T(v) :
T(u) = (x1 - w1, y1 - w1, x1 + z1)
T(v) = (x2 - w2, y2 - w2, x2 + z2)
T(u) + T(v) = (x1 - w1 + x2 - w2, y1 - w1 + y2 - w2, x1 + z1 + x2 + z2)
Observamos que T(u + v) = T(u) + T(v) . Então, a propriedade de adição vetorial está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja c um escalar e u = (x, y, z, w) .
Primeiro, calculamos T(cu) :
cu = (cx, cy, cz, cw)
T(cu) = (cx - cw, cy - cw, cx + cz)
= c(x - w, y - w, x + z)
Agora, calculamos cT(u) :
T(u) = (x - w, y - w, x + z)
cT(u) = c(x - w, y - w, x + z) = (c(x - w), c(y - w), c(x + z))
= (cx - cw, cy - cw, cx + cz)
Vemos que T(cu) = cT(u) . Portanto, a propriedade de multiplicação por escalar também está satisfeita.

Resposta

Como a aplicação T satisfaz tanto a adição vetorial quanto a multiplicação por escalar, podemos concluir que T: R^4 R^3 , definida por T(x, y, z, w) = (x - w, y - w, x + z) , é uma transformação linear.

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