Seja a transformação linear:
S: R^3 R^4, S(x, y, z)=(x+y, z, x-y, x+z)
(a) Calcular (S circ T)(x, y) se
T: R^2 R^3, T(x, y)=(2 x+y, x-y, x-3 y)
(b) Determinar a matriz canônica de S circ T e mostrar que ela é o produto da matriz canônica de S pela matriz canônica de T.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício juntos. A questão fala sobre transformações lineares e a composição de funções. Precisamos calcular a composição de duas transformações lineares e , e depois encontrar a matriz canônica dessa composição. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como aplicação de funções e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. É uma função que mapeia vetores de um espaço vetorial para outro, respeitando as operações de adição e multiplicação por escalar. No caso, temos:
T: R^2 R^3, T(x, y) = (2x + y, x - y, x - 3y)
S: R^3 R^4, S(x, y, z) = (x + y, z, x - y, x + z)
Queremos calcular , que significa aplicar T primeiro e depois S no resultado de T.

Passo 3

Vamos calcular T(x, y) = (2x + y, x - y, x - 3y) primeiro. Aplicando a função T:
Isso nos dá um vetor em .

Passo 4

Agora, aplicamos S no resultado de T. Ou seja, substituímos S(2x + y, x - y, x - 3y) = ((2x + y) + (x - y), x - 3y, (2x + y) - (x - y), (2x + y) + (x - 3y)) por (2x + y) + (x - y) = 3x na função S:
x - 3y
Vamos simplificar cada componente:
  1. Primeira componente:
(2x + y) - (x - y) = x + 2y
  1. Segunda componente:
(2x + y) + (x - 3y) = 3x - 2y
  1. Terceira componente:
  1. Quarta componente:

Passo 5

Juntando tudo, temos:
(S circ T)(x, y) = (3x, x - 3y, x + 2y, 3x - 2y)

Passo 6

Agora, para a parte (b), vamos determinar a matriz canônica de . A matriz canônica de uma transformação linear representa a transformação em termos de matrizes, facilitando operações como composição.
Primeiro, vamos encontrar as matrizes canônicas de S e T separadamente.

Passo 7

Matriz canônica de T:
A transformação T mapeia T(e1) = T(1, 0) = (2cdot1 + 0, 1 - 0, 1 - 0) = (2, 1, 1) para T(e2) = T(0, 1) = (2cdot0 + 1, 0 - 1, 0 - 3cdot1) = (1, -1, -3) . Cada coluna da matriz representa a imagem dos vetores da base canônica de AT = 2 & 1 1 & -1 1 & -3 .
Então, a matriz canônica de T é:

Passo 8

Matriz canônica de S:
A transformação S mapeia S(e1) = S(1, 0, 0) = (1 + 0, 0, 1 - 0, 1 + 0) = (1, 0, 1, 1) para S(e2) = S(0, 1, 0) = (0 + 1, 0, 0 - 1, 0 + 0) = (1, 0, -1, 0) . Cada coluna da matriz representa a imagem dos vetores da base canônica de S(e3) = S(0, 0, 1) = (0 + 0, 1, 0 - 0, 0 + 1) = (0, 1, 0, 1) .
AS = 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & -1 & 0 1 & 0 & 1
Então, a matriz canônica de S é:

Passo 9

Matriz canônica de AS circ T = AS cdot AT :
A matriz canônica da composição AS = 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & -1 & 0 1 & 0 & 1 , AT = 2 & 1 1 & -1 1 & -3 é o produto das matrizes canônicas de S e T:
(1 cdot 2) + (1 cdot 1) + (0 cdot 1) = 2 + 1 + 0 = 3
Vamos multiplicar as matrizes:
(1 cdot 1) + (1 cdot -1) + (0 cdot -3) = 1 - 1 + 0 = 0
A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz. Como (0 cdot 2) + (0 cdot 1) + (1 cdot 1) = 0 + 0 + 1 = 1 é (0 cdot 1) + (0 cdot -1) + (1 cdot -3) = 0 + 0 -3 = -3 e (1 cdot 2) + (-1 cdot 1) + (0 cdot 1) = 2 -1 + 0 = 1 é (1 cdot 1) + (-1 cdot -1) + (0 cdot -3) = 1 +1 + 0 = 2 , o resultado será uma matriz (1 cdot 2) + (0 cdot 1) + (1 cdot 1) = 2 + 0 +1 = 3 .
Vamos calcular cada elemento:
  1. Primeira linha, primeira coluna:
(1 cdot 1) + (0 cdot -1) + (1 cdot -3) = 1 + 0 -3 = -2
  1. Primeira linha, segunda coluna:
AS circ T = 3 & 0 1 & -3 1 & 2 3 & -2
  1. Segunda linha, primeira coluna:
  1. Segunda linha, segunda coluna:
  1. Terceira linha, primeira coluna:
  1. Terceira linha, segunda coluna:
  1. Quarta linha, primeira coluna:
  1. Quarta linha, segunda coluna:
Então, a matriz resultante é:

Resposta

(a) 3 & 0 1 & -3 1 & 2 3 & -2
(b) A matriz canônica de é
e ela é igual ao produto da matriz canônica de pela matriz canônica de .

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