(b) Determinar a matriz canônica de e mostrar que ela é o produto da matriz canônica de pela matriz canônica de .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício juntos. A questão fala sobre transformações lineares e a composição de funções. Precisamos calcular a composição de duas transformações lineares e , e depois encontrar a matriz canônica dessa composição. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como aplicação de funções e multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. É uma função que mapeia vetores de um espaço vetorial para outro, respeitando as operações de adição e multiplicação por escalar. No caso, temos:
Queremos calcular , que significa aplicar T primeiro e depois S no resultado de T.
Passo 3
Vamos calcular primeiro. Aplicando a função T:
Isso nos dá um vetor em .
Passo 4
Agora, aplicamos S no resultado de T. Ou seja, substituímos por na função S:
Vamos simplificar cada componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Quarta componente:
Passo 5
Juntando tudo, temos:
Passo 6
Agora, para a parte (b), vamos determinar a matriz canônica de . A matriz canônica de uma transformação linear representa a transformação em termos de matrizes, facilitando operações como composição.
Primeiro, vamos encontrar as matrizes canônicas de S e T separadamente.
Passo 7
Matriz canônica de T:
A transformação T mapeia para . Cada coluna da matriz representa a imagem dos vetores da base canônica de .
Então, a matriz canônica de T é:
Passo 8
Matriz canônica de S:
A transformação S mapeia S(e1) = S(1, 0, 0) = (1 + 0, 0, 1 - 0, 1 + 0) = (1, 0, 1, 1) para S(e2) = S(0, 1, 0) = (0 + 1, 0, 0 - 1, 0 + 0) = (1, 0, -1, 0) . Cada coluna da matriz representa a imagem dos vetores da base canônica de S(e3) = S(0, 0, 1) = (0 + 0, 1, 0 - 0, 0 + 1) = (0, 1, 0, 1) .
AS = 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & -1 & 0 1 & 0 & 1
Então, a matriz canônica de S é:
Passo 9
Matriz canônica de AS circ T = AS cdot AT :
A matriz canônica da composição AS = 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & -1 & 0 1 & 0 & 1 , AT = 2 & 1 1 & -1 1 & -3 é o produto das matrizes canônicas de S e T: