Verifique se os vetores
e
foram uma base ortonormal de
com o produto interno euclidiano usual. Em seguida, escreva cada um dos vetores
e
como um combinação linear de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se os vetores
,
e
formam uma base ortonormal do espaço tridimensional
com o produto interno euclidiano padrão. Depois disso, precisamos expressar outros vetores
,
e
como combinações lineares desses
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base ortonormal, como verificar essa propriedade e como escrever vetores como combinações lineares usando essa base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base ortonormal. Em
, uma base é um conjunto de três vetores que são lineares e independentes, ou seja, nenhum vetor pode ser escrito como combinação dos outros. Uma base é ortonormal se, além de ser ortogonal (os vetores são perpendiculares entre si), cada vetor tem norma igual a 1.
Passo 3
Vamos verificar se os vetores
são ortonormais. Para isso, precisamos conferir duas coisas:
- Norma de cada vetor é 1: A norma de um vetor
é dada por . - Vetores são ortogonais entre si: Do produto interno, sabemos que
se forem ortogonais.
Passo 4
Vamos calcular as normas:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, todas as normas são iguais a 1. Bom, primeira parte confirmada!
Passo 5
Agora, vamos verificar se os vetores são ortogonais entre si, ou seja, se o produto interno entre quaisquer dois vetores é zero.
Então, todos os produtos internos entre pares de vetores são zero. Isso significa que os vetores são ortogonais.
Passo 6
Como verificamos que:
- Cada vetor tem norma 1.
- Todos os vetores são mutuamente ortogonais.
Podemos concluir que
formam uma base ortonormal de
com o produto interno euclidiano usual.
Passo 7
Agora, vamos escrever os vetores
como combinações lineares de
. Ou seja, queremos encontrar coeficientes
tais que:
Como a base é ortonormal, podemos encontrar facilmente esses coeficientes usando o produto interno:
Passo 8
Vamos calcular para cada
:
Para
:
Então,
Passo 9
Para
:
Então,
Passo 10
Para
:
Então,
Resposta
Os vetores
e
podem ser escritos como combinações lineares de
e
da seguinte forma: