Verifique se os vetores v1=(-35, 45, 0), v2=(45, 35, 0) e v3=(0,0,1) foram uma base ortonormal de R^3 com o produto interno euclidiano usual. Em seguida, escreva cada um dos vetores u1 = (1,-1,2), u2=(3,-7,4) e u3=(17,-37, 57) como um combinação linear de v1, v2 e v3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se os vetores v1= (-35, 45, 0) , v2= (45, 35, 0) e v3=(0,0,1) formam uma base ortonormal do espaço tridimensional R^3 com o produto interno euclidiano padrão. Depois disso, precisamos expressar outros vetores u1 = (1,-1,2) , u2=(3,-7,4) e u3=(17,-37, 57) como combinações lineares desses v1, v2, v3 . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base ortonormal, como verificar essa propriedade e como escrever vetores como combinações lineares usando essa base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base ortonormal. Em R^3, uma base é um conjunto de três vetores que são lineares e independentes, ou seja, nenhum vetor pode ser escrito como combinação dos outros. Uma base é ortonormal se, além de ser ortogonal (os vetores são perpendiculares entre si), cada vetor tem norma igual a 1.

Passo 3

Vamos verificar se os vetores v1, v2, v3 são ortonormais. Para isso, precisamos conferir duas coisas:
  1. Norma de cada vetor é 1: A norma de um vetor v = (a, b, c) é dada por ||v|| = raiza^2 + b^2 + c^2 .
  2. Vetores são ortogonais entre si: Do produto interno, sabemos que v cdot w = 0 se forem ortogonais.

Passo 4

Vamos calcular as normas:
  • Para v1= (-35, 45, 0) :
||v1|| = raiz(-35)^2 + (45)^2 + 0^2 = raiz925 + 1625 = raiz1 = 1
  • Para v2= (45, 35, 0) :
||v2|| = raiz(45)^2 + (35)^2 + 0^2 = raiz1625 + 925 = raiz1 = 1
  • Para v3= (0,0,1) :
||v3|| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 = 1
Então, todas as normas são iguais a 1. Bom, primeira parte confirmada!

Passo 5

Agora, vamos verificar se os vetores são ortogonais entre si, ou seja, se o produto interno entre quaisquer dois vetores é zero.
  • v1 cdot v2 = (-35)(45) + (45)(35) + 0 cdot 0 = -1225 + 1225 + 0 = 0
  • v1 cdot v3 = (-35)(0) + (45)(0) + 0 cdot 1 = 0 + 0 + 0 = 0
  • v2 cdot v3 = (45)(0) + (35)(0) + 0 cdot 1 = 0 + 0 + 0 = 0
Então, todos os produtos internos entre pares de vetores são zero. Isso significa que os vetores são ortogonais.

Passo 6

Como verificamos que:
  1. Cada vetor tem norma 1.
  2. Todos os vetores são mutuamente ortogonais.
Podemos concluir que v1, v2, v3 formam uma base ortonormal de R^3 com o produto interno euclidiano usual.

Passo 7

Agora, vamos escrever os vetores u1, u2, u3 como combinações lineares de v1, v2, v3 . Ou seja, queremos encontrar coeficientes a, b, c tais que:
u = a v1 + b v2 + c v3
Como a base é ortonormal, podemos encontrar facilmente esses coeficientes usando o produto interno:
a = u cdot v1, b = u cdot v2, c = u cdot v3

Passo 8

Vamos calcular para cada u :
Para u1 = (1, -1, 2) :
a = u1 cdot v1 = 1 cdot (-35) + (-1) cdot (45) + 2 cdot 0 = -35 - 45 + 0 = -75
b = u1 cdot v2 = 1 cdot (45) + (-1) cdot (35) + 2 cdot 0 = 45 - 35 + 0 = 15
c = u1 cdot v3 = 1 cdot 0 + (-1) cdot 0 + 2 cdot 1 = 0 + 0 + 2 = 2
Então,
u1 = -75 v1 + 15 v2 + 2 v3

Passo 9

Para u2 = (3, -7, 4) :
a = u2 cdot v1 = 3 cdot (-35) + (-7) cdot (45) + 4 cdot 0 = -95 - 285 + 0 = -375
b = u2 cdot v2 = 3 cdot (45) + (-7) cdot (35) + 4 cdot 0 = 125 - 215 + 0 = -95
c = u2 cdot v3 = 3 cdot 0 + (-7) cdot 0 + 4 cdot 1 = 0 + 0 + 4 = 4
Então,
u2 = -375 v1 - 95 v2 + 4 v3

Passo 10

Para u3 = (17, -37, 57) :
a = u3 cdot v1 = 17 cdot (-35) + (-37) cdot (45) + 57 cdot 0 = -335 - 1235 + 0 = -1535 = -37
b = u3 cdot v2 = 17 cdot (45) + (-37) cdot (35) + 57 cdot 0 = 435 - 935 + 0 = -535 = -17
c = u3 cdot v3 = 17 cdot 0 + (-37) cdot 0 + 57 cdot 1 = 0 + 0 + 57 = 57
Então,
u3 = -37 v1 - 17 v2 + 57 v3

Resposta

Os vetores u1, u2 e u3 podem ser escritos como combinações lineares de v1, v2 e v3 da seguinte forma:
u1 = -75 v1 + 15 v2 + 2 v3 u2 = -375 v1 - 95 v2 + 4 v3 u3 = -37 v1 - 17 v2 + 57 v3

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