Seja a transformação linear T: R^2 R^2 dada por
T(x, y)=(x+y, 4 y)
Determine os autovalores de T.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear Tcolon R^2 to R^2 definida por
T(x,y) = (x+y,,4y)
Queremos encontrar os autovalores de T. Para isso vamos representar T por sua matriz na base canônica, calcular o polinômio característico e, em seguida, achar suas raízes.

Passo 2

Na base canônica e1=(1,0),,e2=(0,1) temos
T(e1)=T(1,0)=(1,0), T(e2)=T(0,1)=(1,4)
Logo a matriz de T é
A = 1 & 1 0 & 4

Passo 3

O polinômio característico de A é dado por
det(A - lambda I) = det 1-lambda & 1 0 & 4-lambda = (1-lambda)(4-lambda)

Passo 4

Para encontrar os autovalores, resolvemos
(1-lambda)(4-lambda)=0,
cujo conjunto de raízes é
lambda=1 e lambda=4.

Resposta

Os autovalores de T são lambda1 = 1 e lambda2 = 4.

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