Seja uma transformação linear T: R^3 R^3 tal que
T(x, y, z)=(lll x-2 y, & -2 x+y, & -z )
Determine os autovalores de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores da transformação linear T: R^3 R^3 definida por:
T(x, y, z) = (lll x - 2y, & -2x + y, & -z )
Para isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes de transformações lineares e autovalores (também conhecidos como valores próprios). Autovalores são números que nos dizem como uma transformação linear “esticará” ou “encolherá” um vetor ao aplicá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T como uma matriz. Cada transformação linear pode ser representada por uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, realiza a transformação.
Dada a transformação:
T(x, y, z) = (lll x - 2y, & -2x + y, & -z )
A matriz correspondente A será:
A = 1 & -2 & 0 -2 & 1 & 0 0 & 0 & -1

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores da matriz A , precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, lambda representa os autovalores e I é a matriz identidade de ordem 3:
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 4

Vamos calcular A - lambda I :
A - lambda I = 1 - lambda & -2 & 0 -2 & 1 - lambda & 0 0 & 0 & -1 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = 1 - lambda & -2 & 0 -2 & 1 - lambda & 0 0 & 0 & -1 - lambda

Passo 5

O determinante de uma matriz triangular pode ser calculado multiplicando os elementos da diagonal principal. No nosso caso, temos uma matriz 3x3 com uma parte triangular. Então:
det(A - lambda I) = [(1 - lambda)(1 - lambda) - (-2)(-2)] times (-1 - lambda)
Vamos simplificar:
= [(1 - lambda)^2 - 4] times (-1 - lambda)
Explicando, calculamos o determinante 2x2 da submatriz superior esquerda e multiplicamos pelo elemento (-1 - λ).

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação característica:
[(1 - lambda)^2 - 4] times (-1 - lambda) = 0
Primeiro, resolvemos (1 - lambda)^2 - 4 = 0 :
(1 - lambda)^2 = 4 1 - lambda = pm 2
Isso nos dá duas soluções:
1 - lambda = 2 Rightarrow lambda = -1 1 - lambda = -2 Rightarrow lambda = 3
Além disso, temos -1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = -1 .

Resposta

Os autovalores de T são lambda = -1 (com multiplicidade 2) e lambda = 3 .

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