Seja T: R^3 R^4 uma transformação linear tal que T(1,1,0) = (0,3,2,1), T(1,0,1) = (0,1,0,0) e T(1,2,1) = (0,0,1,0).
Calcule, usando as propriedades de transformações lineares, T(1,0,0), T(0,1,0) e T(0,0,1).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:R^3toR^4 e fornece os valores
T(1,1,0) = (0,3,2,1), T(1,0,1) = (0,1,0,0), T(1,2,1) = (0,0,1,0)
Como qualquer vetor (x,y,z) em R^3 pode ser escrito em função da base canônica e1,e2,e3, queremos achar
T(e1)=T(1,0,0), T(e2)=T(0,1,0), T(e3)=T(0,0,1)
usando a linearidade de T.

Passo 2

Defina
X = T(e1), Y = T(e2), Z = T(e3)
Pela linearidade temos
T(1,1,0)=T(e1+e2)=X+Y=(0,3,2,1), tag1
T(1,0,1)=T(e1+e3)=X+Z=(0,1,0,0), tag2
T(1,2,1)=T(e1+2e2+e3)=X+2Y+Z=(0,0,1,0) tag3

Passo 3

Das equações (1) e (2) isolamos
Y = (0,3,2,1) - X, Z = (0,1,0,0) - X
Substituindo em (3) obtemos
X + 2l((0,3,2,1)-Xr) + l((0,1,0,0)-Xr) = (0,0,1,0)
Isso leva a
-2X + 2,(0,3,2,1) + (0,1,0,0) = (0,0,1,0) Longrightarrow X = 2,(0,3,2,1) + (0,1,0,0) - (0,0,1,0)2

Passo 4

Calculemos cada termo:
2,(0,3,2,1) = (0,6,4,2), (0,6,4,2)+(0,1,0,0) = (0,7,4,2),
(0,7,4,2) - (0,0,1,0) = (0,7,3,2),
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X = T(e1) = 12(0,7,3,2) = l(0,tfrac72,tfrac32,1r)
Em seguida
Y = (0,3,2,1) - l(0,tfrac72,tfrac32,1r) = l(0,3-tfrac72,2-tfrac32,1-1r) = l(0,-tfrac12,tfrac12,0r),
Z = (0,1,0,0) - l(0,tfrac72,tfrac32,1r) = l(0,1-tfrac72,0-tfrac32,0-1r) = l(0,-tfrac52,-tfrac32,-1r)

Resposta

T(1,0,0) = l(0,tfrac72,tfrac32,1r)
T(0,1,0) = l(0,-tfrac12,tfrac12,0r)
T(0,0,1) = l(0,-tfrac52,-tfrac32,-1r)

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