Seja T: R^2 P2[x] uma transformação linear, tal que
T(1,1)=2-3 x ; T(2,-1)=x-x^2
Determine
T(-3,2).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear T: R^2 to P2[x] tais que
T(1,1)=2-3x, T(2,-1)=x - x^2
e pede T(-3,2). Vamos usar a linearidade de T: se escrevemos (-3,2) como combinação de (1,1) e (2,-1), então
T(-3,2) =lambda,T(1,1)+mu,T(2,-1)

Passo 2

Procuramos escalares lambda e mu tais que
lambda(1,1)+mu(2,-1)=(-3,2)
Isso gera o sistema
lambda + 2mu = -3, lambda - mu = 2

Passo 3

Resolvendo o sistema, subtraímos a segunda equação da primeira:
(lambda+2mu)-(lambda-mu)=-3-2 Longrightarrow 3mu=-5 Longrightarrow mu=-tfrac53
Em seguida, de lambda-mu=2 vem
lambda =2+mu =2-tfrac53 =tfrac13

Passo 4

Pela linearidade de T:
T(-3,2) =tfrac13,T(1,1)-tfrac53,T(2,-1)
Substituindo os valores conhecidos e distribuindo:
T(-3,2) =tfrac13(2-3x) -tfrac53(x - x^2) =tfrac23-x -tfrac53x +tfrac53x^2 =tfrac23-tfrac83x+tfrac53x^2

Resposta

T(-3,2)=53x^2-83x+23

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