Seja T: R^2 P2[x] uma transformação linear, tal que
T(1,1)=2-3 x ; T(2,-1)=x-x^2
Determine
T(a, b)

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
T:R^2to P2[x],
com
T(1,1)=2-3x, T(2,-1)=x - x^2,
e pede T(a,b).
O conteúdo é Álgebra Linear: vamos usar a linearidade de T e a ideia de representar (a,b) em função da base (1,1),(2,-1).

Passo 2

Verificamos que (1,1) e (2,-1) são linearmente independentes (determinante -3neq0), logo formam base de R^2.
Assim existe alpha,beta tais que
(a,b)=alpha,(1,1)+beta,(2,-1)

Passo 3

Para encontrar resolvemos o sistema
A matriz inversa é
logo
]

Passo 4

Pela linearidade de T temos
T(a,b) =alpha,T(1,1)+beta,T(2,-1) =alpha,(2-3x)+beta,(x - x^2)

Passo 5

Substituindo alpha=tfraca+2b3 e beta=tfraca-b3 e distribuindo, obtemos
T(a,b) =2(a+2b)3 -3cdota+2b3,x +a-b3,x -a-b3,x^2
Agrupando coeficientes:
T(a,b) =2a+4b3 +l(-2a+7b3r)x +b-a3,x^2

Resposta

T(a,b) =2a+4b3 -2a+7b3,x +b-a3,x^2

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