Seja T: R^3 R^2 transformação linear tal que
T(0,1,0)=(1,-2), T(1,0,1)=(3,1), T(1,1,0)=(0,2)
Mostre que o conjunto B=(0,1,0),(1,0,1),(1,1,0) é base para R^3.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
B = , (0,1,0),;(1,0,1),;(1,1,0)
e pede para mostrar que ele é base de R^3. Para isso vamos usar a definição de base: um conjunto é base se, e somente se, for linearmente independente e gerar (span) todo o espaço. Em espaços de dimensão finita vale o teorema: em R^3, qualquer conjunto de 3 vetores linearmente independentes já é base.

Passo 2

Verificamos a independência linear de
Escrevendo componente a componente, temos o sistema
Da terceira equação vem , e em . Logo a única combinação linear que gera o zero é a trivial, o que prova que é linearmente independente.

Passo 3

Como B tem exatamente 3 vetores em R^3 e já mostramos que eles são linearmente independentes, pelo teorema de dimensão concluímos que B também gera R^3. Portanto B é base de R^3.

Resposta

O conjunto B é uma base de R^3.

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