Seja triang<= A B C um triângulo isósceles, com A C=B C, e A=30^circ. Determine o vértice C sabendo que A(1,3) e B(2,3).

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC isósceles com AC = BC e ang<= A = 30^circ, sabendo que A(1,3) e B(2,3). Para resolver, vamos usar geometria analítica:
  • a condição AC=BC (fórmula da distância no plano)
  • a condição ang<= A = 30^circ (produto escalar entre AB e AC)

Passo 2

Impondo AC=BC, temos
|AC| = |BC|
ou seja,
(x-1)^2 + (y-3)^2 ;=;(x-2)^2 + (y-3)^2
Cancelando o termo (y-3)^2 dos dois lados e resolvendo para x,
(x-1)^2 = (x-2)^2 Longrightarrow x = tfrac32

Passo 3

Para impor ang<= A = 30^circ, usamos o produto escalar:
AB = (1,0) e AC = (x-1,,y-3). Logo
cosang<= A = ABcdot AC|AB||AC| = x-11cdotraiz(x-1)^2+(y-3)^2 = cos30^circ = raiz32
Quadrando os dois lados, obtemos
(x-1)^2 = 34,l[(x-1)^2+(y-3)^2r] Longrightarrow (x-1)^2 = 3,(y-3)^2

Passo 4

Substituindo x = tfrac32 na equação (x-1)^2 = 3(y-3)^2, vem
l(tfrac32 -1r)^2 = 3,(y-3)^2 Longrightarrow 14 = 3,(y-3)^2 Longrightarrow (y-3)^2 = 112
Longrightarrow ;y-3 = pm12raiz3 ;=;pmraiz36 Longrightarrow y = 3pmraiz36

Resposta

C = l(tfrac32,;3+tfracraiz36r) ou C = l(tfrac32,;3-tfracraiz36r)

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