Verifique se cada uma das proposições seguintes é falsa ou verdadeira, justificando sua resposta.
Se A é uma matriz quadrada singular, então existe uma matriz B neq 0 tal que A B=0.

Passo 1

O enunciado pede para testar a proposição “se uma matriz quadrada A é singular, então existe matriz Bneq0 tal que AB=0”. O conteúdo envolvido é teoria de matrizes singulares, núcleo (nullspace) de uma matriz e como usar vetores do núcleo para construir outras matrizes.

Passo 2

Como A é singular, temos det(A)=0. Pela teoria de espaços vetoriais, isso implica que o núcleo de A, dado por v:,Av=0, não é apenas o vetor zero. Ou seja, existe vetor vneq0 satisfazendo
A,v = 0

Passo 3

Para construir uma matriz Bneq0 com AB=0, basta tomar qualquer vetor não-nulo v do núcleo de A e colocá-lo como coluna de B, preenchendo as outras colunas com zeros. Por exemplo, em dimensão n:
B = v & 0 & cdots & 0,
onde claramente Bneq0 e
AB = l(A v; Acdot0;cdots;Acdot0r) = (0;0;cdots;0),
que é a matriz zero.

Passo 4

Logo, sempre que A for singular, conseguimos achar Bneq0 tal que AB=0. Portanto a proposição é verdadeira.

Resposta

Verdadeira

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