Verifique se cada uma das proposições seguintes é falsa ou verdadeira, justificando sua resposta.
Se
é uma matriz quadrada singular, então existe uma matriz
tal que
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para testar a proposição “se uma matriz quadrada
é singular, então existe matriz
tal que
”. O conteúdo envolvido é teoria de matrizes singulares, núcleo (nullspace) de uma matriz e como usar vetores do núcleo para construir outras matrizes.
Passo 2
Como
é singular, temos
. Pela teoria de espaços vetoriais, isso implica que o núcleo de
, dado por
, não é apenas o vetor zero. Ou seja, existe vetor
satisfazendo
Passo 3
Para construir uma matriz
com
, basta tomar qualquer vetor não-nulo
do núcleo de
e colocá-lo como coluna de
, preenchendo as outras colunas com zeros. Por exemplo, em dimensão
:
onde claramente
que é a matriz zero.
Passo 4
Logo, sempre que
for singular, conseguimos achar
tal que
. Portanto a proposição é verdadeira.
Resposta
Verdadeira