Sejam v1=2 u1-u2+u3, v2=-4 u1+u2 e v3=-u2-7 u3. Admitindo que é uma base, mostre que é uma base.

Passo 1

A questão dá as expressões de vec v1,vec v2,vec v3 em função de vec u1,vec u2,vec u3 e pede para mostrar que se vec vi é base então vec ui também é base. O conteúdo envolvido é mudança de base e uso de matrizes de transformação linear. Vamos precisar montar a matriz que leva as coordenadas em vec ui para vec vi, verificar que ela é invertível e, a partir disso, concluir independência e que geram o espaço.

Passo 2

Escrevemos a relação entre as bases usando a matriz de mudança de base M. Como vec vj é combinação linear dos vec ui, temos informalmente:
$$
(\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3)

(\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3);
M,
(vec v1,vec v2,vec v3) = (vec u1,vec u2,vec u3); M, ã
M =
M.
$$

Passo 3

Calculamos o determinante de M para ver se é invertível. Expandindo pela primeira linha:
det(M) = 21 & -10 & -7 -(-4)-1 & -11 & -7 +0cdot(cdots) = 2(1cdot(-7)-(-1)cdot0) +4((-1)cdot(-7)-(-1)cdot1) =2(-7)+4cdot8 =-14+4cdot8 =18neq0

Passo 4

Como det(M)neq0, a matriz M é invertível. Logo, existe M^-1 tal que
$$
(\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3)

(\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3);M^{-1}.
$$

Passo 5

Isto mostra duas coisas:
• Cada vec ui é combinação linear dos vec vj, logo spanvec uisubseteqspanvec vj=V e, portanto, vec ui gera o espaço.
• Se uma combinação c1vec u1+c2vec u2+c3vec u3=0 existe, aplicando M ou reescrevendo em termos dos vec vj dá combinação trivial, o que implica c1=c2=c3=0. Assim os vec ui são linearmente independentes.

Passo 6

Como vec ui é independente e gera o mesmo espaço de vec vi, concluímos que vec u1,vec u2,vec u3 é uma base de V.

Resposta

vec u1,vec u2,vec u3 é base de V.

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