Sejam e . Admitindo que é uma base, mostre que é uma base.
Passo 1
A questão dá as expressões de em função de e pede para mostrar que se é base então também é base. O conteúdo envolvido é mudança de base e uso de matrizes de transformação linear. Vamos precisar montar a matriz que leva as coordenadas em para , verificar que ela é invertível e, a partir disso, concluir independência e que geram o espaço.
Passo 2
Escrevemos a relação entre as bases usando a matriz de mudança de base . Como é combinação linear dos , temos informalmente:
$$
(\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3)
(\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3);
M,
M = .
$$
Passo 3
Calculamos o determinante de M para ver se é invertível. Expandindo pela primeira linha:
Como det(M)neq0, a matriz M é invertível. Logo, existe M^-1 tal que
$$
(\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3)
(\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3);M^{-1}.
$$
Passo 5
Isto mostra duas coisas:
• Cada vec ui é combinação linear dos vec vj, logo spanvec uisubseteqspanvec vj=V e, portanto, vec ui gera o espaço.
• Se uma combinação c1vec u1+c2vec u2+c3vec u3=0 existe, aplicando M ou reescrevendo em termos dos vec vj dá combinação trivial, o que implica c1=c2=c3=0. Assim os vec ui são linearmente independentes.
Passo 6
Como vec ui é independente e gera o mesmo espaço de vec vi, concluímos que vec u1,vec u2,vec u3 é uma base de V.