Uma variável X sim N(mu, sigma^2) representa o desempenho de um certo equipamento. Ele será considerado fora de controle se afastar de mu por mais de 2 sigma unidades. Todo o dia, o equipamento é avaliado e, caso esteja fora de controle, será desligado e enviado para manutenção. Admita independência entre as avaliações diárias. Determine a probabilidade de:
(a) No primeiro dia o equipamento ser desligado.
(b) A primeira manutenção ser no décimo dia.
(c) Você reconhece a variável que conta os dias anteriores à manutenção?

Passo 1

O enunciado diz que Xsim N(mu,sigma^2) mede o desempenho de um equipamento e ele é considerado fora de controle se
lvert X - murvert > 2sigma
As avaliações diárias são independentes. Precisamos calcular
  1. a probabilidade desse evento já no primeiro dia;
  2. a probabilidade de só no décimo dia aparecer o primeiro “fora de controle”;
  3. reconhecer de que distribuição aleatória trata essa contagem de dias até a primeira falha.

Passo 2

Definimos
Z = X - musigmasim N(0,1),
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p = Pl(lvert X - murvert > 2sigmar) = P(lvert Zrvert > 2) = 2l[1 - Phi(2)r]
Esse p é justamente a resposta ao item (a).

Passo 3

Para que a primeira manutenção ocorra no décimo dia, o equipamento deve estar em controle nos dias 1 a 9 (probabilidade 1-p cada dia) e só no décimo falhar. Como os dias são independentes,
P(T=10) = (1-p)^9,p

Passo 4

A variável aleatória que conta o número de dias até a primeira falha (manutenção) é uma Geométrica de parâmetro p, pois modela o número de ensaios até o primeiro sucesso, onde “sucesso” aqui é o evento “fora de controle”.

Resposta

(a) ;P(desligar no 1º dia)=p=2l[1-Phi(2)r]º
(b) ;P(1ª manutenção no 10º dia)=(1-p)^9,pªçãº.
(c) É uma distribuição geométrica de parâmetro p=2[1-Phi(2)], que conta o dia do primeiro “fora de controle”.

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