Seja u=(2,1) e v=(3,-4). Ache
a) a projeção de v em u,
b) u cdot v.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem dois vetores, u = (2,1) e v = (3,-4). O que a gente precisa fazer aqui é duas coisas: primeiro, encontrar a projeção do vetor v sobre o vetor u, e segundo, calcular o produto escalar entre u e v. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente projeção de vetores e produto escalar.

Passo 2

Vamos começar com a parte a) que pede para encontrar a projeção de v em u. A projeção de um vetor v sobre outro vetor u é basicamente o vetor que representa a “sombra” de v na direção de u. A fórmula para calcular a projeção é:
proju v = ( u cdot vu cdot u ) u

Passo 3

Primeiro, precisamos calcular o produto escalar u cdot v. Para dois vetores a = (a1, a2) e b = (b1, b2), o produto escalar é dado por:
a cdot b = a1 b1 + a2 b2
Aplicando isso aos nossos vetores:
u cdot v = (2)(3) + (1)(-4) = 6 - 4 = 2

Passo 4

Agora, vamos calcular u cdot u, que é o produto escalar de u consigo mesmo:
u cdot u = (2)(2) + (1)(1) = 4 + 1 = 5

Passo 5

Agora que temos esses valores, podemos substituir na fórmula da projeção:
proju v = ( 25 ) u = 25 (2,1)
Multiplicando a constante pelos componentes do vetor u:
proju v = ( 25 times 2, 25 times 1 ) = ( 45, 25 )

Passo 6

Agora, vamos resolver a parte b), que solicita o cálculo do produto escalar u cdot v. Já fizemos esse cálculo no Passo 3, mas vamos reforçar:
u cdot v = 2

Resposta

a) A projeção de v em u é ( dfrac45, dfrac25 ).
b) O produto escalar u cdot v é 2.

Exercícios relacionados