Seja
e
. Ache
a) a projeção de
em u,
b)
.
a) a projeção de
b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem dois vetores,
e
. O que a gente precisa fazer aqui é duas coisas: primeiro, encontrar a projeção do vetor
sobre o vetor
, e segundo, calcular o produto escalar entre
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente projeção de vetores e produto escalar.
Passo 2
Vamos começar com a parte a) que pede para encontrar a projeção de
em
. A projeção de um vetor
sobre outro vetor
é basicamente o vetor que representa a “sombra” de
na direção de
. A fórmula para calcular a projeção é:
Passo 3
Primeiro, precisamos calcular o produto escalar
. Para dois vetores
e
, o produto escalar é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, que é o produto escalar de
consigo mesmo:
Passo 5
Agora que temos esses valores, podemos substituir na fórmula da projeção:
Multiplicando a constante pelos componentes do vetor
:
Passo 6
Agora, vamos resolver a parte b), que solicita o cálculo do produto escalar
. Já fizemos esse cálculo no Passo 3, mas vamos reforçar:
Resposta
a) A projeção de
em
é
.
b) O produto escalar
é
.