Seja N o último dígito do número de matrícula de um dos membros da dupla. Por exemplo, para a matrícula 12.3.4567 temos N=7. Substitua o valor de N antes de fazer as contas, antes de começar a resolver cada questão.
Seja x um número real. Considere os vetores os vetores u=(5,1-N, x) e v=(4,2 x,-6)
b) Para quais valores de x o ângulo entre os vetores é agudo? Para quais valores de x o ângulo entre os vetores é obtuso (maior que 90^circ )?

Passo 1

O enunciado define um dígito Nin0,1,dots,9 e os vetores
u=(5,;1-N,;x), v=(4,;2x,;-6)
Pede-se para que valores de x o ângulo entre u e v seja agudo ( <90^circ) ou obtuso ( >90^circ). Lembrando que o ângulo é agudo se ucdotv>0 e obtuso se ucdotv<0.

Passo 2

Vamos calcular o produto interno
ucdotv = 5cdot4 ;+;(1-N)cdot(2x);+;xcdot(-6)
Em seguida simplificamos:
ucdotv =20 ;+;2x(1-N);-;6x =20 ;+;2x-2Nx ;-;6x =20 ;+;(-2N-4),x =20 ;-;(2N+4),x

Passo 3

Para ângulo agudo precisamos de
ucdotv>0 Longrightarrow 20-(2N+4),x>0
Como Nin0,dots,9 implica 2N+4>0, podemos dividir sem inverter o sinal:
x<202N+4

Passo 4

Para ângulo obtuso precisamos de
ucdotv<0 Longrightarrow 20-(2N+4),x<0 Longrightarrow x>202N+4

Resposta

Ângulo entre u e v é
– agudo quando
x<202N+4,
– obtuso quando
x>202N+4

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