Sejam V um espaço vetorial, B=v1, v2, ldots, vn uma base de V e c1, c2, ldots, cn escalares não nulos. Prove que B1=c1 v1, c2 v2, ldots, cn vn também é um base de V.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial de dimensão n com uma base
B=v1,v2,dots,vn
e dados escalares não nulos c1,c2,dots,cn. Queremos mostrar que
B1=c1v1,c2v2,dots,cnvn
é também uma base de V. Para provar que um conjunto é base, precisamos verificar dois itens:
  1. linearidade independente;
  2. gera todo V (espalha ou “span”).

Passo 2

Mostramos que B1 é linearmente independente. Suponha uma combinação linear nula:
a1(c1v1) + a2(c2v2) + cdots + an(cnvn) = 0
Reescrevendo,
(c1a1),v1 + (c2a2),v2 + cdots + (cnan),vn = 0
Como B é base, os coeficientes em cada vi devem ser zero:
ciai = 0para cada i=1,dots,n
Mas cada cineq 0, logo ai=0. Isso mostra que só a combinação trivial anula a soma, logo B1 é linearmente independente.

Passo 3

Agora provamos que B1 gera todo V. Seja vin V. Como B é base, existem escalares lambda1,dots,lambdan tais que
v = lambda1v1 + lambda2v2 + cdots + lambdanvn
Como cineq 0, podemos escrever lambdaivi = (lambdai/ci)(civi). Então
v = sumi=1^n lambdaivi = sumi=1^n lambdaici,l(civir),
que é uma combinação linear de vetores em B1. Logo B1 gera V.

Resposta

Como mostramos independência linear e que o conjunto gera V, concluímos que
B1=c1v1,c2v2,dots,cnvn
é uma base de V.

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