Sejam
um espaço vetorial,
uma base de
e
escalares não nulos. Prove que
também é um base de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial de dimensão
com uma base
e dados escalares não nulos . Queremos mostrar que
é também uma base de . Para provar que um conjunto é base, precisamos verificar dois itens:
e dados escalares não nulos
é também uma base de
- linearidade independente;
- gera todo
(espalha ou “span”).
Passo 2
Mostramos que
é linearmente independente. Suponha uma combinação linear nula:
Reescrevendo,
Como
é base, os coeficientes em cada
devem ser zero:
Mas cada
, logo
. Isso mostra que só a combinação trivial anula a soma, logo
é linearmente independente.
Passo 3
Agora provamos que
gera todo
. Seja
. Como
é base, existem escalares
tais que
Como
, podemos escrever
. Então
que é uma combinação linear de vetores em
. Logo
gera
.
Resposta
Como mostramos independência linear e que o conjunto gera
, concluímos que
é uma base de .
é uma base de