Sejam U, V e W os seguintes subespaços de R^3 :
U=(a, b, c) in R^3 ; a+b+c=0, V=(a, b, c) in R^3 ; a=c
e
W=(a, b, c) in R^3 ; c in R
Mostre que R^3=U+V.

Passo 1

O enunciado define os subespaços
U=(a,b,c)inR^3;;a+b+c=0,
V=(a,b,c)inR^3;;a=c
Queremos mostrar que
U+V=u+v;;uin U,;vin V=R^3,
ou seja, que todo vetor de R^3 pode ser escrito como soma de um vetor de U e um vetor de V.

Passo 2

Seja (x,y,z)inR^3 um vetor qualquer. Procuramos
u=(a1,b1,c1)in U, v=(a2,b2,c2)in V
tais que
u+v=(a1+a2,;b1+b2,;c1+c2)=(x,y,z)
As condições são
a1+b1+c1=0, a2=c2,
e
a1+a2=x, b1+b2=y, c1+c2=z

Passo 3

Para simplificar, escolhemos
a2=c2=0(Rightarrow vin V)
e então
a1=x, c1=z, b1=y-b2
A condição a1+b1+c1=0 fica
x+(y-b2)+z=0 Longrightarrow b2=x+y+z
Logo
v=(0,;x+y+z,;0)in V,
u=(x,;y-(x+y+z),;z)=(x,;-x-z,;z)in U
e de fato
u+v=(x,;(-x-z)+(x+y+z),;z)=(x,y,z)

Passo 4

Mostramos que, dado qualquer (x,y,z)inR^3, construímos uin U e vin V com u+v=(x,y,z). Portanto
R^3=U+V

Resposta

R^3=U+V

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