Seja V o conjunto dos pares ordenados de números reais. V não é um espaço vetorial em relação a nenhum dos seguintes pares de operações sobre V :
a) (x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+ y2) e a (x, y)=(x, ay )
b) (x1, y1)+(x2, y2)=(x1, y1) e a(x, y) = (ax, ay)
Diga em cada caso quais dos 8 axiomas não se verificam.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos verificar por que o conjunto V= R^2 não é espaço vetorial em cada um dos dois pares de operações dados. Para isso, precisamos checar os oito axiomas de espaço vetorial (fechamento, comutatividade, associatividade da adição, elemento neutro, inverso aditivo, fechamento na multiplicação escalar, distributividades e identidade escalar).

Passo 2

Os oito axiomas que devemos testar são:
1. Comutatividade da adição
u+v=v+u.
2. Associatividade da adição
(u+v)+w=u+(v+w).
3. Existência de elemento neutro aditivo 0 tal que
v+0=v.
4. Existência de inverso aditivo para todo v, isto é, existe -v com
v+(-v)=0.
5. Fechamento na multiplicação escalar: para todo escalar a e vin V, avin V.
6. Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição vetorial
a(u+v)=au+av
7. Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares
(a+b)v=av+bv
8. Identidade escalar:
1cdotv=v

Passo 3

Caso (a):
Definimos
u=(x1,y1), v=(x2,y2), u+v=(x1+x2,;y1+y2), a,(x,y)=(x,,a,y)
– Os axiomas 1 a 6 e 8 são satisfeitos pois a adição é a usual em cada componente e a multiplicação escalar afeta só a segunda componente, preservando associatividade, comutatividade, neutro (0,0), inversos ( -x,-y), fechamento e identidade 1(x,y)=(x,y).
– O axioma 7 falha, pois
(a+b)(x,y)=(x,,(a+b)y),
enquanto
a(x,y)+b(x,y) =(x,ay)+(x,by)=(x+x,;ay+by)=(2x,,(a+b)y)neq(x,,(a+b)y)

Passo 4

Caso (b):
Definimos
u+v=(x1,y1), a,(x,y)=(ax,ay)
– A comutatividade da adição (axioma 1) falha, pois
u+v=(x1,y1)neq(x2,y2)=v+u em geral.
– O inverso aditivo (axioma 4) falha: para vneq(0,0) não existe w tal que v+w=(0,0), pois v+w=vneq(0,0).
– A distributividade em relação à soma de escalares (axioma 7) também falha, pelo mesmo cálculo do caso (a):
(a+b)(x,y)=( (a+b)x,,(a+b)y)neq (ax,ay)+(bx,by)=(ax,ay)
pois a soma retorna sempre o primeiro operando.

Resposta

(a) Falha o axioma 7 ,(a+b)v=av+bv
(b) Falham os axiomas 1 (comutatividade da adição), 4 (inverso aditivo) e 7 (distributividade (a+b)v=av+bv).

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