Sejam R^2 e f(u, v)=x1 y1 vetores de . Quais das seguintes funções são formas bilineares:
(a)

Passo 1

A questão apresenta os vetores u=(x1,x2) e v=(y1,y2) em R^2 e pede pra verificar se a função f(u,v)=x1y1 é uma forma bilinear. Vamos usar o conceito de bilinearidade, que exige linearidade em cada argumento separadamente.

Passo 2

Uma função f:Vtimes Vto R é linear em u se, para quaisquer u1,u2,v e escalar alpha, valerem: f(u1+u2,v)=f(u1,v)+f(u2,v) e f(alpha u1,v)=alpha f(u1,v). Aqui temos f(u1+u2,v)=(x1^(1)+x1^(2))y1 = x1^(1)y1 + x1^(2)y1 = f(u1,v)+f(u2,v) e f(alpha u1,v)=(alpha x1^(1))y1=alpha(x1^(1)y1)=alpha f(u1,v), logo é linear em u.

Passo 3

Agora verificamos a linearidade em v. Precisamos de: f(u,v1+v2)=f(u,v1)+f(u,v2) e f(u,alpha v1)=alpha f(u,v1). Calculando: f(u,v1+v2)=x1(y1^(1)+y1^(2))=x1y1^(1)+x1y1^(2)=f(u,v1)+f(u,v2) e f(u,alpha v1)=x1(alpha y1^(1))=alpha(x1y1^(1))=alpha f(u,v1). Portanto é linear em v.

Passo 4

Como f é linear em cada argumento, concluímos que f(u,v)=x1y1 é de fato uma forma bilinear.

Resposta

f(u,v)=x1y1 é uma forma bilinear.

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