Sejam R^2 e f(u, v)=x1 y2 vetores de . Quais das seguintes funções são formas bilineares:
(b)

Passo 1

O enunciado dá vetores u=(x1,x2) e v=(y1,y2) em R^2 e pede para verificar se f(u,v)=x1y2 é uma forma bilinear. Vamos precisar da definição de bilinearidade, ou seja, linearidade em cada argumento separadamente.

Passo 2

Uma aplicação f:Vtimes Vto R é bilinear se, para quaisquer u,u',v,v'in V e escalar c, valem as propriedades: (i) f(u+u',v)=f(u,v)+f(u',v) e f(cu,v)=c,f(u,v); (ii) f(u,v+v')=f(u,v)+f(u,v') e f(u,cv)=c,f(u,v).

Passo 3

Para o primeiro argumento:
– Soma: $f(u+u

Passo 4

v)=(x_1+x_1")y_2=x_1y_2+x_1"y_2=f(u,v)+f(u",v)$.
– Homogeneidade: Homo>=neidade: .’, ‘Para o segundo argumento:
– Soma: $f(u,v+v")=x_1(y_2+y_2"))=x_1y_2+x_1y_2"=f(u,v)+f(u,v").
– Homogeneidade: ', 'Para o segundo argumento: Soma: .’, ‘Como todas as propriedades de linearidade em cada argumento são satisfeitas, f(u,cv)=x1(cy2)=c(x1y2)=c,f(u,v) é de fato uma forma bilinear.’]))

Resposta

f(u,v)=x1y2 é uma forma bilinear em R^2.

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