Sejam
e
vetores de
. Quais das seguintes funções são formas bilineares:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá vetores
e
em
e pede para verificar se
é uma forma bilinear. Vamos precisar da definição de bilinearidade, ou seja, linearidade em cada argumento separadamente.
Passo 2
Uma aplicação
é bilinear se, para quaisquer
e escalar
, valem as propriedades: (i)
e
; (ii)
e
.
Passo 3
Para o primeiro argumento:
– Soma: $f(u+u
– Soma: $f(u+u
Passo 4
v)=(x_1+x_1")y_2=x_1y_2+x_1"y_2=f(u,v)+f(u",v)$.
– Homogeneidade: .’, ‘Para o segundo argumento:
– Soma: $f(u,v+v")=x_1(y_2+y_2"))=x_1y_2+x_1y_2"=f(u,v)+f(u,v").
– Homogeneidade: .’, ‘Como todas as propriedades de linearidade em cada argumento são satisfeitas,
é de fato uma forma bilinear.’]))
– Homogeneidade:
– Soma: $f(u,v+v")=x_1(y_2+y_2"))=x_1y_2+x_1y_2"=f(u,v)+f(u,v").
– Homogeneidade: