Seja V um K-espaço vetorial e T: V V um operador linear com polinômio minimal mT(x)=p1(x)^m1 cdots pk(x)^mk onde os pi(x) são distintos e irredutíveis em K[x]. Seja V=W1 oplus cdots oplus Wk a decomposição de V dada pelo teorema da decomposição primária. Mostre que para todo subespaço T-invariante W de V temos que
W=oplusi=1^k(W cap Wi)

Passo 1

Estamos num espaço vetorial V sobre um corpo K com um operador linear T cujo polinômio minimal se fatoriza como mT(x)=p1(x)^m1cdots pk(x)^mk, e sabemos pela decomposição primária que
V=W1opluscdotsoplus Wk,
onde Wi=ker pi(T)^mi. Queremos mostrar que todo subespaço T-invariante Wsubset V se decompõe como
W=oplusi=1^k(Wcap Wi)

Passo 2

Para construir a decomposição, usamos o Teorema Chinês dos Polinômios em K[x]. Como os pi^mi são coprimos em pares, existem polinômios fi(x) tais que
fi(x)equiv1 bmod;pi(x)^mi, fi(x)equiv0 bmod;pj(x)^mj para jneq i

Passo 3

Definimos então as projeções pii:Vto V por
pii=fi(T)
Essas são tais que pii^2=pii, piipij=0 se ineq j, e Im(pii)=Wi.

Passo 4

Como W é T-invariante, para todo win W temos pii(w)=fi(T)win W. Além disso pii(w)in Wi, logo
pii(w)in Wcap Wi
E como sumi=1^kpii=IdV, segue
w=sumi=1^kpii(w)insumi=1^k(Wcap Wi),
mostrando Wsubsetsumi(Wcap Wi).

Passo 5

Para ver que a soma é direta, suponha
w1+cdots+wk=0, wiin Wcap Wi
Aplicando pij em ambos os lados dá pij(wj)=wj=0. Assim cada wi=0, logo a soma é direta e concluímos
W=oplusi=1^k(Wcap Wi)

Resposta

W=oplusi=1^kl(Wcap Wir)

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