Seja
um
-espaço vetorial e
um operador linear com polinômio minimal
onde os
são distintos e irredutíveis em
. Seja
a decomposição de
dada pelo teorema da decomposição primária. Mostre que para todo subespaço
-invariante
de
temos que
Passo 1
Estamos num espaço vetorial
sobre um corpo
com um operador linear
cujo polinômio minimal se fatoriza como
, e sabemos pela decomposição primária que
onde
Passo 2
Para construir a decomposição, usamos o Teorema Chinês dos Polinômios em
. Como os
são coprimos em pares, existem polinômios
tais que
Passo 3
Definimos então as projeções
por
Essas são tais que
Passo 4
Como
é
-invariante, para todo
temos
. Além disso
, logo
E como
mostrando
.
Passo 5
Para ver que a soma é direta, suponha
Aplicando