Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
(h) W=f in F(R) mid lim x 0 f(x)=infty

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial real V=F(R) (todas as funções reais de variável real) e o subconjunto
W = l,fin F(R) mid limxto 0f(x)=inftyr
Queremos saber se W é um subespaço de V. Para isso, vamos usar o teste de subespaço, que exige três condições:
  1. 0in W.
  2. Se f,gin W então f+gin W.
  3. Se fin W e alphainR então alpha fin W.

Passo 2

Verificamos imediatamente a primeira condição: o vetor zero em F(R) é a função f0(x)=0 para todo x. Calculando o limite,
limxto 0f0(x)=limxto 00=0neqinfty,
logo f0notin W.

Passo 3

Como a função zero não pertence a W, a condição de conter o vetor zero falha. Não há necessidade de checar as demais condições: já basta uma falha para concluir que W não é subespaço.

Resposta

W não é um subespaço de V.

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