Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
(j) W=f in F(R) mid f(-x)=-f(x)

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial real
V = F(R)
formado por todas as funções f:RtoR. O subconjunto em questão é
W = ,finF(R) mid f(-x) = -f(x) forall xinR,
ou seja, o conjunto das funções ímpares. Para verificar que W é subespaço de V, vamos checar que ele não é vazio, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que W não é vazio exibindo um elemento trivial: a função zero
0(x) = 0forall xinR
De fato,
0(-x) = 0 = -0 = -,0(x),
logo 0in W.

Passo 3

Verificamos a fechadura sob soma. Tomemos f,gin W. Então para todo xinR vale
(f+g)(-x) = f(-x) + g(-x) = l(-f(x)r) + l(-g(x)r) = -l(f(x) + g(x)r) = -,(f+g)(x)
Isso mostra que f+g também satisfaz a condição de imparidade, isto é, f+gin W.

Passo 4

Verificamos a fechadura sob multiplicação escalar. Seja fin W e alphainR. Para todo xinR temos
(alpha f)(-x) = alpha,f(-x) = alpha,l(-f(x)r) = -l(alpha,f(x)r) = -(alpha f)(x)
Logo alpha fin W.

Resposta

W é um subespaço de V.

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