Seja
um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto
é um subespaço de
.
(j)
(j)
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial real
formado por todas as funções
. O subconjunto em questão é
ou seja, o conjunto das funções ímpares. Para verificar que
é subespaço de
, vamos checar que ele não é vazio, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que
não é vazio exibindo um elemento trivial: a função zero
De fato,
logo
.
Passo 3
Verificamos a fechadura sob soma. Tomemos
. Então para todo
vale
Isso mostra que
também satisfaz a condição de imparidade, isto é,
.
Passo 4
Verificamos a fechadura sob multiplicação escalar. Seja
e
. Para todo
temos
Logo
.