Seja
um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto
é um subespaço de
.
(k)
(k)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subespaço do espaço vetorial
. Para isso, vamos usar os critérios de subespaço: (i) conter o vetor zero, (ii) fechar-se sob soma e (iii) fechar-se sob multiplicação por escalares.
Passo 2
Verificamos se o zero do espaço está em
. O zero em
é a função
.
logo
.
Passo 3
Verificamos a soma de duas funções quaisquer
. Como
e
, temos
portanto
. Assim
é fechado sob soma.
Passo 4
Verificamos a multiplicação por um escalar
. Se
e
, então
Mas se
, basta um contraexemplo: seja
. Então
e
, porém
logo
. Assim
não é fechado sob multiplicação por escalares negativos.