Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
(k) W=f in F(R) mid f^prime(x) >= 0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = fin F( R)mid f'(x)>= 0 para todo xin R
é um subespaço do espaço vetorial V = F( R). Para isso, vamos usar os critérios de subespaço: (i) conter o vetor zero, (ii) fechar-se sob soma e (iii) fechar-se sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Verificamos se o zero do espaço está em W. O zero em F( R) é a função 0(x)=0.
0'(x)=0>=0forall x,
logo 0in W.

Passo 3

Verificamos a soma de duas funções quaisquer f,gin W. Como f'(x)>=0 e g'(x)>=0, temos
(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)>=0+0=0forall x,
portanto f+gin W. Assim W é fechado sob soma.

Passo 4

Verificamos a multiplicação por um escalar lambdain R. Se lambda>=0 e f'(x)>=0, então
(lambda f)'(x)=lambda,f'(x)>=0
Mas se lambda<0, basta um contraexemplo: seja f(x)=x. Então f'(x)=1>=0 e fin W, porém
(-1cdot f)'(x)=(-1)cdot1=-1<0,
logo -fnotin W. Assim W não é fechado sob multiplicação por escalares negativos.

Resposta

W não é subespaço de V.

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