Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
(l) W=f in F(R) mid f(x)+f^prime(x)=0

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial real V=F(R) (funções RtoR com soma e multiplicação escalar usuais) e o subconjunto
W=,fin F(R)mid f(x)+f'(x)=0 para todo xinR
O conteúdo é teoria de subespaços: para mostrar que W é subespaço de V, precisamos verificar três propriedades:
  1. Wneqvarnothing (existe a função zero).
  2. Fechamento em soma.
  3. Fechamento em multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que a função nula f0(x)=0 pertence a W, pois
f0(x)+f0'(x)=0+0=0
para todo x. Logo, W não é vazio.

Passo 3

Sejam f e g em W. Então para todo x vale
(f+g)(x)+(f+g)'(x)=f(x)+g(x)+l(f'(x)+g'(x)r) =l(f(x)+f'(x)r)+l(g(x)+g'(x)r)=0+0=0
Portanto f+gin W, mostrando o fechamento em soma.

Passo 4

Seja lambdainR e fin W. Então
(lambda f)(x)+(lambda f)'(x)=lambda f(x)+lambda f'(x) =lambdal(f(x)+f'(x)r)=lambdacdot0=0
Logo lambda fin W, mostrando o fechamento em multiplicação escalar.

Resposta

W é um subespaço de V.

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